Метод доверительных интервалов (ДИ)

Статистика 3.

Ошибки статистических характеристик.

Статистические ошибки показывают в каких пределах могут отклоняться наши выборочные оценки от параметров генеральной совокупности.

Первый метод – точечные оценки (одно значение) применяются при условиях:

- если ГС распределена нормально или выборка стремится к нормальному распределению;

- если процесс и, соответственно, ряд стационарный, т.е. в нём отсутствует тренд или, как говорят, нет связи между отдельными частями ряда.

Абсолютные ошибки (зависящие от размерности исследуемой величины или процесса, а, значит, не позволяющие проводить сравнение с другими величинами) рассчитываются по следующим формулам:

Абсолютная ошибка среднего арифметического значения САЗ (первый шаг):

σ (х)

δ xср = ———; аналогично для ряда Y;

√ N – 1

Таким образом, Х ср = Х ср ± δ х ср аналогично для ряда Y;

Где σ (х) - среднее квадратическое отклонение (СКО), N – количество наблюдений.

Как видно из формулы, ошибка среднего арифметического будет больше, чем больше изменчивость искомого ряда (т.е. СКО) и чем меньше его длина. И обратно, чем длиннее ряд, тем меньше ошибка, а значит точнее характеристика его.

Абсолютная ошибка среднего квадратического отклонения (СКО) (второй шаг):

σ (х)

δ σ (х) = ———; аналогично для ряда Y;

√ 2N – 1

σ (х) = σ (х) ± δ σ (х); аналогично для ряда Y;

Абсолютная ошибка коэффициента асимметрии (третий шаг):

6 – (N-1)

δА (х) = √——————; аналогично для ряда Y;

(N+1)(N+3)

А (х) = А (х) ± δ А (х) аналогично для ряда Y;

Внимание, δ А (х) может быть больше самого А (х).

Абсолютная ошибка коэффициента эксцесса (четвёртый шаг):

24 N (N-2(N-3)

δ Е (х) = √ ————————; аналогично для ряда Y;

(N-1)² (N+3)(N+5)

Е (х) = Е (х) ± δ Е (х); аналогично для ряда Y;

Абсолютная ошибка дисперсии (пяты й шаг):

σ² (х)

δ σ²(х) = ———; аналогично для ряда Y;

2N – 1

σ² (х) =σ² (х) ± δ σ² (х); аналогично для ряда Y;

Относительная ошибка среднего арифметического значения САЗ (шестой шаг):

δ Х ср

δ отн. Х ср. = ——— ∙ 100 %; аналогично для ряда Y;

Х ср

δ отн. Х ср. = %; аналогично для ряда Y;

Принято считать, что если относительная ошибка (δ отн. Х ср.) ≤ 5 %, то это надёжная оценка.

В противном случае необходимо увеличить ряд или применить другие приёмы мат. статистики.

Метод доверительных интервалов (ДИ).

Метод достаточно универсален, может применяться даже при небольшой длине ряда 30 -40 значений. ДИ для параметра Х ср. – такой интервал, в который с заранее выбранной доверительной вероятностью, близкой к 1, входит неизвестное значение параметра Х ср., или другого параметра.

Доверительный вариант для среднего арифметического значения САЗ (седьмой шаг):

σ (х) σ (х)

[Х ср. – t α,m ∙ —————; Х ср. - t α, m ∙ —————]

√ N - 1 √ N – 1

Аналогично рассчитывается для Y ср.

Где t – параметр из t- распределения Стьюдента находится по табл.19.5-5 в «Справочнике по математике», Г.Корн, Т.Корн. «Наука», М., 1984 или в Интернете.

Где α – заданный уровень вероятности. В нашем случае α = 0,05, т.е. вероятность попадания САЗ в пределы доверительного интервала равна 95 %, а непопадания – 5 %.

m- количество степеней свободы или разность между количеством наблюдений и количеством оцениваемых параметров. В нашем случае m = N – 1;

Доверительный вариант для среднего квадратического отклонения СКО (восьмой шаг):

σ (х) σ (х)

[σ (х) – t α,m∙ —————; σ (х) + t α,m ∙ ————— ]

√ 2N – 1 √ 2N – 1

Аналогично рассчитывается для σ (Y) cо всеми выше определёнными данными.

Поиск по сайту: