Теоретическая часть. Бифуркационная динамика систем

Лабораторная работа № 5

Бифуркационная динамика систем.

Разделы программы: Новые направления науки о самоорганизации.

Теоретическая часть.

Полученные еще в девятнадцатом веке А.Пуанкаре результаты анализа решений некоторых дифференциальных уравнений (т.н. бифуркация решений), в дальнейшем развитые А.Андроновым в области теории нелинейных колебаний, нашли применение в науке о самоорганизации. Основополагающей работой в этом направлении стала работа А.Тьюринга «О химической основе морфогенеза», в которой было показано, что при определенных условиях взаимодействие химической реакции и чисто физического процесса диффузии приводит к возникновению стационарной пространственной неоднородности концентраций вещества, т.е. структуры. Выводы Тьюринга в дальнейшем были подтверждены в биологических экспериментах. Впоследствии оказалось, что круг явлений, описываемых в рамках подхода Тьюринга, оказался очень широк: кроме биологических процессов сюда вошли некоторые химические, экологические процессы, а также процессы, относящиеся к гидродинамике, физике плазмы и т.д. В настоящее время теория бифуркаций вышла далеко за рамки естествознания и применяется в исторической науке, педагогике, медицине и других областях.

Ход работы.

1. Уясните модельную ситуацию, предложенную отечественным исследователем Л.Кадановым.

Пусть на изолированном острове летом выводятся насекомые численностью Х_i , которые откладывают яйца и умирают. Из яиц на следующий год выводятся новые насекомые численностью Х_{i +1} . Очевидно, численность потомства Х_{i +1} должна зависеть от численности родительского поколения Х_i и от каких-то дополнительных факторов. Эта зависимость учитывается уравнением:

Х_{i +1} = (N - Х_i ),

Где > 0 – некоторый параметр (т.е. постоянная в условиях рассмотрения величина), N – максимально возможная численность популяции.

Для унификации уравнения численность популяции нормируют по отношению к предельной величине, что математически оформляется делением обеих частей равенства на N²:

Х_{i +1}^* = ^* Х_i^*(1 - Х_i^*),

Где Х_i^* = Х_i/N Х_{i +1}^*= Х_{i +1}/ N ^*= N (в дальнейшем изложении * будем опускать).

2. Проанализируйте унифицированное уравнение. Оно решается путем подстановки значений Х_i (0≤ Х_i ≤ 1) с дальнейшим расчетом Х_{i +1}, которое вновь считается исходным Х_i и т.д. (рекуррентный расчет). Однако результаты будут существенно зависеть от , называемого также параметром скорости роста.

Так, для небольших (0 < <1) выполняется Х_{i ,} независимо от начального значения Х₀. Убедитесь в этом, задав Х₀ и в соответствие с вышеуказанными интервалами. Результаты расчетов отразите в табл. 1., указав сверху нее значение .

= _________

Табл.1

Анализ табличных результатов показывает, что популяция________________________.

3. Продолжите анализ унифицированного уравнения, задав большее, а именно

(1 < <3). Результаты расчетов отобразите в табл.2, оформив ее по аналогии с табл.1.

Как видно, в данном случае популяция ____________________________, а стремится по численности к некоторому предельному значению Х^*. Этот предел для каждого может быть рассчитан аналитическим путем решения уравнения:

Х_i^* = Х^*(1 - Х^*)

Уравнение имеет два решения:

Х^*₁= 0 Х^*₂ = ( - 1)/

Первое решение реализуется (т.е. существует устойчиво) при малых (0 < <1), а второе для >1, т.к. условиям задачи по должно быть Х_i>0. Для Х^*₂, очевидно, характерен годичный цикл численности.

4. Задайте еще большее значение (3 < <3,4) и рассчитайте динамику популяции. Результаты расчета отобразите в табл.3, аналогичной по форме табл.1. Как можно увидеть в этом случае динамика численности популяции заметно усложняется: возникают два ее предельных (стационарных) значения, причем сама численность колеблется, попеременно приближаясь то к одному, то к другому пределу. В итоге будет наблюдаться ритмичность колебаний численности с периодом 2 года.

5. Т.о. характер решения унифицированного уравнения численности популяции существенно зависит от величины параметра , входящего в уравнение. Для «малых» стационарное значение равно 0, для «средних» - оно ненулевое, для «больших» возникают два стационарных состояния. Последняя ситуация и называется бифуркацией (разветвлением) решения (и, соответственно, динамического поведения системы). В нашем случае она возникает, когда параметр достигает первого критического значения ₁=3. Строго говоря, первая точка бифуркации соответствует

₀= 1. Однако из двух значений Х^* одно (Х^*₁ = 0) становится неустойчивым и не реализуется.

6. Построить график зависимости стационарных состояний численности от параметра скорости роста (Х = f (), = (0-3,57)).

Можно показать, что второе критическое значение ₂ = 3.4 соответствует раздвоению каждой из ветвей решения, т. е. стационарных значений становится не два, а четыре. При этом возникает четырехстадийный цикл колебаний численности, т.е. четырехлетняя периодичность. Следующее критическое значение ₃ = 3,54 приводит к восьмистадийному циклу, затем появляются 16, 32, 64 и т.д. ветвей. Соответствующие критические значения очень мало отличаются друг от друга. Наконец, при = 3,57 периодичность изменения численности исчезает (ветви решений сливаются, а период повторения можно условно считать бесконечным). Наступает хаотизация динамики (т. е. динамический или детерминированный хаос).

Рассмотренная математическая модель является далеко не единственной, которая приводит к каскаду бифуркаций удвоения периода при изменении некоторого параметра, входящего в уравнение. В самом общем случае такая задача была впервые исследована М.Фейгенбаумом в 1978 г. Разработанную им теорию называют теорией универсальности Фейгенбаума. Полученные в ней закономерности оказались общими для широкого класса гидродинамических, механических, электрических, биологических и других систем.

Теория бифуркаций позволяет раскрыть важные закономерности динамического поведения систем различной природы, в том числе – переход от упорядоченного поведения к хаотическому и обратно.

Контрольные вопросы:

· Какие биологические обоснования можно привести для введения величины N в исходное уравнение? Ответ поясните.

· Какова динамика популяции при Х₀ = 0? при Х₀ = N?

Поиск по сайту: