АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теоретическая часть. Бифуркационная динамика систем

Читайте также:
  1. II. Практическая часть.
  2. II. Практическая часть.
  3. II. Теоретическая часть урока.
  4. Аналитическая часть.
  5. Аналитическая часть.
  6. Кейнсианская теория как теоретическая база государственного регулирования экономики
  7. Необходимая предварительная теоретическая подготовка
  8. Основная часть.
  9. Основная часть.
  10. Основная часть. Расчет индивидуального задания
  11. Паспортная часть.
  12. Практическая часть.

Лабораторная работа № 5

Бифуркационная динамика систем.

Разделы программы: Новые направления науки о самоорганизации.

Теоретическая часть.

Полученные еще в девятнадцатом веке А.Пуанкаре результаты анализа решений некоторых дифференциальных уравнений (т.н. бифуркация решений), в дальнейшем развитые А.Андроновым в области теории нелинейных колебаний, нашли применение в науке о самоорганизации. Основополагающей работой в этом направлении стала работа А.Тьюринга «О химической основе морфогенеза», в которой было показано, что при определенных условиях взаимодействие химической реакции и чисто физического процесса диффузии приводит к возникновению стационарной пространственной неоднородности концентраций вещества, т.е. структуры. Выводы Тьюринга в дальнейшем были подтверждены в биологических экспериментах. Впоследствии оказалось, что круг явлений, описываемых в рамках подхода Тьюринга, оказался очень широк: кроме биологических процессов сюда вошли некоторые химические, экологические процессы, а также процессы, относящиеся к гидродинамике, физике плазмы и т.д. В настоящее время теория бифуркаций вышла далеко за рамки естествознания и применяется в исторической науке, педагогике, медицине и других областях.

Ход работы.

1. Уясните модельную ситуацию, предложенную отечественным исследователем Л.Кадановым.

Пусть на изолированном острове летом выводятся насекомые численностью Хi , которые откладывают яйца и умирают. Из яиц на следующий год выводятся новые насекомые численностью Хi +1 . Очевидно, численность потомства Хi +1 должна зависеть от численности родительского поколения Хi и от каких-то дополнительных факторов. Эта зависимость учитывается уравнением:

 

Хi +1 = (N - Хi ),

Где > 0 – некоторый параметр (т.е. постоянная в условиях рассмотрения величина), N – максимально возможная численность популяции.

Для унификации уравнения численность популяции нормируют по отношению к предельной величине, что математически оформляется делением обеих частей равенства на N2:

 

Хi +1* = * Хi*(1 - Хi*),

Где Хi* = Хi/N Хi +1*= Хi +1/ N *= N (в дальнейшем изложении * будем опускать).

2. Проанализируйте унифицированное уравнение. Оно решается путем подстановки значений Хi (0≤ Хi ≤ 1) с дальнейшим расчетом Хi +1, которое вновь считается исходным Хi и т.д. (рекуррентный расчет). Однако результаты будут существенно зависеть от , называемого также параметром скорости роста.

Так, для небольших (0 < <1) выполняется Хi , независимо от начального значения Х0. Убедитесь в этом, задав Х0 и в соответствие с вышеуказанными интервалами. Результаты расчетов отразите в табл. 1., указав сверху нее значение .

 

= _________

 

Табл.1

Х0 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8
                 

Анализ табличных результатов показывает, что популяция________________________.

3. Продолжите анализ унифицированного уравнения, задав большее, а именно

(1 < <3). Результаты расчетов отобразите в табл.2, оформив ее по аналогии с табл.1.

Как видно, в данном случае популяция ____________________________, а стремится по численности к некоторому предельному значению Х*. Этот предел для каждого может быть рассчитан аналитическим путем решения уравнения:

Хi* = Х*(1 - Х*)

Уравнение имеет два решения:

Х*1= 0 Х*2 = ( - 1)/

Первое решение реализуется (т.е. существует устойчиво) при малых (0 < <1), а второе для >1, т.к. условиям задачи по должно быть Хi>0. Для Х*2, очевидно, характерен годичный цикл численности.

4. Задайте еще большее значение (3 < <3,4) и рассчитайте динамику популяции. Результаты расчета отобразите в табл.3, аналогичной по форме табл.1. Как можно увидеть в этом случае динамика численности популяции заметно усложняется: возникают два ее предельных (стационарных) значения, причем сама численность колеблется, попеременно приближаясь то к одному, то к другому пределу. В итоге будет наблюдаться ритмичность колебаний численности с периодом 2 года.

5. Т.о. характер решения унифицированного уравнения численности популяции существенно зависит от величины параметра , входящего в уравнение. Для «малых» стационарное значение равно 0, для «средних» - оно ненулевое, для «больших» возникают два стационарных состояния. Последняя ситуация и называется бифуркацией (разветвлением) решения (и, соответственно, динамического поведения системы). В нашем случае она возникает, когда параметр достигает первого критического значения 1=3. Строго говоря, первая точка бифуркации соответствует

0= 1. Однако из двух значений Х* одно (Х*1 = 0) становится неустойчивым и не реализуется.

6. Построить график зависимости стационарных состояний численности от параметра скорости роста (Х = f (), = (0-3,57)).

Можно показать, что второе критическое значение 2 = 3.4 соответствует раздвоению каждой из ветвей решения, т. е. стационарных значений становится не два, а четыре. При этом возникает четырехстадийный цикл колебаний численности, т.е. четырехлетняя периодичность. Следующее критическое значение 3 = 3,54 приводит к восьмистадийному циклу, затем появляются 16, 32, 64 и т.д. ветвей. Соответствующие критические значения очень мало отличаются друг от друга. Наконец, при = 3,57 периодичность изменения численности исчезает (ветви решений сливаются, а период повторения можно условно считать бесконечным). Наступает хаотизация динамики (т. е. динамический или детерминированный хаос).

Рассмотренная математическая модель является далеко не единственной, которая приводит к каскаду бифуркаций удвоения периода при изменении некоторого параметра, входящего в уравнение. В самом общем случае такая задача была впервые исследована М.Фейгенбаумом в 1978 г. Разработанную им теорию называют теорией универсальности Фейгенбаума. Полученные в ней закономерности оказались общими для широкого класса гидродинамических, механических, электрических, биологических и других систем.

Теория бифуркаций позволяет раскрыть важные закономерности динамического поведения систем различной природы, в том числе – переход от упорядоченного поведения к хаотическому и обратно.

 

Контрольные вопросы:

· Какие биологические обоснования можно привести для введения величины N в исходное уравнение? Ответ поясните.

· Какова динамика популяции при Х0 = 0? при Х0 = N?


Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)