Индивидуальное задание № 2

«Множественная регрессия»

Выполнил: Цыдыпов Эрдэм

Якшеев Чингис

Проверил: Пискунов Е.Ю.

г.Улан-Удэ

2011 год

Задание: Имеются данные о выручке от реализации продукции в млн.руб. (Y), об инвестициях в основной капитал, тыс.руб.(X₁) и озатратах на оплату труда, млн.руб.(X₂) по 7 предприятиям. Данные представлены в таблице:

Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии.

2. Проверить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и его параметров.

3. Рассчитать показатели качества полученной модели.

4. Выполнить точечный и интервальный прогнозы выручки от реализации Y при фиксированных значениях инвестиций в основной капитал X₁ и затрат на оплату труда X₂(фиксированные значения выбираются произвольно).

Решение:

Задача исследования зависимости одной переменной Yот нескольких объясняющих переменных X₁, X₂…X_p, решается с помощью множественного регрессионного анализа. Общий вид уравнения множественной регрессии выглядит следующим образом:

В данном случае имеются две факторные переменные - X₁ и X_2. Следовательно, модель множественной регрессии будет выглядеть так:

Для оценки параметров b_j будем использовать формулу: B = (X^TX)^-1(X^TY), где

			1 10,7 4,2 1 10 2,2 1 12 2,1		b0
Y =	37,5	X =	1 13,3 2,4	B =	b1
	38,75 41,25 42,5		1 13,7 2,8 1 15,7 2,1 1 18,7 3,4		b2

Найдем отдельно (X^TX) и (X^TY).

	1 1 1 1 1 1 1		1 10,7 4,2 1 10 2,2 1 12 2,1		7 94,1 19,2
(XTX) =	10,7 10 12 13,3 13,7 15,7 18,7	*	1 13,3 2,4	=	94,1 1319,25 258,97
	4,2 2,2 2,1 2,4 2,8 2,1 3,4		1 13,7 2,8 1 15,7 2,1 1 18,7 3,4		19,2 258,97 56,46

			7419,394 -340,662 -960,523		5,162 -0,237 -0,668
(XTX)-1 =		*	-340,662 26,58 -6,07	=	-0,237 0,018 -0,004
			-960,523 -6,07 379,94		-0,668 -0,004 0,264

	1 1 1 1 1 1 1
(XTY) =	10,7 10 12 13,3 13,7 15,7 18,7	*	37,5	=	3459,5
	4,2 2,2 2,1 2,4 2,8 2,1 3,4		38,75 41,25 42,5		674,125

	5,162 -0,237 -0,668		250		20,047
В =	-0,237 0,018 -0,004	*	3459,5	=	1,876
	-0,668 -0,004 0,264		674,125		-3,480

Используя полученные данные уравнение регрессии принимает вид: . Таким образом, можно утверждать что при изменении инвестиций в основной капитал (X₁) на 1 тыс.руб. выручка от реализации (Y) увеличиться в среднем по совокупности на 1,876 млн.руб., а при увеличении затрат на оплату труда (X₂) на 1 млн.руб. выручка (Y) уменьшиться в среднем по совокупности на 3,48 млн.руб.

Теперь для того что бы сравнить силу влияния каждого фактора на результативный признак построим уравнение регрессии в стандартизованном масштабе. Для этого необходимо получить матрицу парных коэффициентов корреляции. При ее построении необходимо учитывать, что корреляция переменной с самой собой равна 1.

Матрица корреляции имеет вид:

Вычеркнем первую строчку матрицы и по оставшимся данным построим систему уравнений и решим ее по правилу Крамера:

0,871 = β1 + 0,06 β2	β1 = 0,879
-0,386 = 0,06 β1 + β2	β2 = -0,44

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе примет следующий вид:

Из уравнения видно, что с увеличением фактора X₁на одно стандартное отклонение (σ_x1) результативная переменная Yувеличится на 0,879 стандартных отклонений (σ_y), а с увеличением фактора X₂на одно стандартное отклонение (σ_x2) Yуменьшится на 0,44 стандартных отклонений (σ_y). Более того, переменная X₁ оказывает более сильное влияние на Y, чем X₂,т.к. β₁> β₂.

Уравнение множественной регрессии дополняется показателем тесноты взаимосвязи изучаемых переменных. Таковым является множественный индекс корреляции R, который рассчитывается по формуле: = 0,976

Проверка статистической значимости результатов множественной регрессии производится по аналогии с парной регрессией. Для начала заполним таблицу дисперсионного анализа и рассчитаем значения факторной (S_r²) и остаточной (S_e²) дисперсий.

Зная значение дисперсий получаем расчетное значение F-критерия Фишера: . Находим табличное значение F-критерия с α=0,05, k₁= 2, k₂= 4: F_табл = 6,94. Таким образом, получаем, что F_p > F_табл. Это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии.

Теперь проверим статистическую значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала найдем стандартные ошибки коэффициентов регрессии m_bj .

mb0

mb1

mb2

Используя значения стандартных ошибок параметров m_bj, найдем наблюдаемые значения t-критериев для каждого параметра:

Согласно таблице t-критерия Стьюдента, t_табл (α = 0,05, df = 4) = 2,776. Отсюда получаем, что параметры b₀ и b₁ являются статистически значимыми и их следует учитывать при дальнейшем анализе ( t_табл и t_табл ). Однако параметр b₂ статистически незначим (t_b2 < t_табл) и соответствующая ему переменная Х₂ исключается из анализа.

Следующим этапом проведения корреляционно-регрессионного анализа стала проверка качества регрессионной модели. Для этого используются два показателя – множественный коэффициент детерминации (R²) (скорректированный коэффициент детерминации ²) и средняя ошибка аппроксимации (.

R² =

Значение коэффициента детерминации показывает, что 95,18% вариации зависимой переменной Yобъясняется совместной вариацией объясняющих переменных X₁ и X₂.

Однако, как известно, для множественной регрессии показатель детерминации должен корректироваться на количество объясняющих переменных в уравнении, чтобы избежать ложной детерминации. Для этого рассчитаем скорректированный индекс детерминации:

Из значения видно, что доля вариации, объясненной регрессией, снизилась на 2,41 % после корректировкина число объясняющих переменных в уравнении.

Далее рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

2,86%

Так как значение средней ошибки апппроксимакции не превышает 5% порога, то качество модели достаточно высокое.

Проверив статистическую значимость результатов регрессии и убедившись в ее высоком качестве, построенной моделью можно воспользоваться для расчета прогнозного значения выручки от реализации Y_p призаданных значениях инвестиций X_1р = 20 тыс.руб. в основной капитал и затрат на оплату труда Х_2р=3,6 млн.руб. Подставляя данные значения в имеющееся уравнение регрессии, получаем: млн.руб.

Рассчитанная величина является точечным прогнозом. Для получения интервального прогноза необходимо рассчитать доверительный интервал точечной оценки прогноза. С этой целью рассчитаем величину стандартной ошибки прогноза:

= 2,441

45,03 – 2,441*2,776 ≤ y_p ≤ 45,03 + 2,441*2,776

38,254 ≤ y_p ≤ 51,806

То есть при уровне инвестиций в основной капитал в 20 тыс. руб. и уровне затрат на оплату труда в 3,6 млн. руб.ожидаемый уровень выручки от реализации будет лежать в пределах от 38,3 млн. руб. до 51,8 млн. руб.

Поиск по сайту: