|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Лекция 8 Переменный ток§ 8 - 1Получение переменного тока. Переменнвм током называется ток, направление которого периодичемки изменяется с течением времени. Основным устройством, которое используется для получения перемен-
где a - угол между направлением магнитного поля В и нормалью к площади рамки S. На-правление тока в рамке в выбранный момент времени определяется по правилу правой руки. Нетрудно видеть, что направление токов в верхнем и нижнем проводниках противо-положны друг другу. Концы рамки подключаются к кольцам, которые, в свою очередь, с помощью скользящих контактов подсоединены к выходным клеммам генератора. В мощных генераторах рамка содержит несколько десятков или сотен витков, токи в ней достигают значительной величины, поэтому сама рамка делается неподвижной, чтобы избе-жать трущихся контактов, а магнитная система вращается вокруг рамки. Частота вращения является госудаоственным стандартом: в США это 60Гц, в Росси –50 Гц. § 8 –2 Квазистационарные токи. Квазистационарным называется переменный ток, для которого в любой омент времени оказывается справедливым закон Ома, сформулированный ранее для постоянного тока. Это означает, что в неразветвленных цепях сила тока, проходящего через любой элемент цепи, в данный момент времени одинакова для всех элементов. Неквазистационарными токи становятся тогда, когда частота колебаний достигает очень больших значений – таких, что соответствующая им длина волны l = сТ, где с –скорость света, а Т –период колебаний, становится сравнимой с геометрическими размерами цепи. Например, для промышленного тока 50 Гц эта длина волны равна 6000 км. В прошлом семестре было показано, что на длине волны амплитуды колебаний в разных точках пространства различны, изменяясь от максимума до нуля и нооборот через каждые l/4. Поэтому мгновеннве значения ока будут одинаковы тогда, когда l>> l, где l – длина цепи.
лагая, что условие квазистационарности выполнено. Тогда Ek, (ХХ) где = UC - напряжение на конденсаторе, а суммарная ЭДС складывается из ЭДС источника тока и ЭДС самоиндукции EL: Ek = EL + E (t), EL = - . Обычно величину называют падением напряжения на индуктивности и обозна-чают UL, т.е. UL= , произведение IR =UR –падением напряжения на сопротивлении. С учетом этого уравнение (ХХ) можно преобразовать: UR + UL + UC = E (t). (ХХХ) Вспоминая, что и заменяя величины UC и UL, получим E (t). (¨¨¨) Предположим, что ток в нашей цепи изменяется по синусоидальному закону: I = I0 sinwt. Тогда UR = I0R sinwt, UL = wLI0 coswt = wLI0 sin(wt -p/2), = . Эти соотношения должны быть спаведливыми в любой момент времени, поэтому они спра-ведливы и для амплитудных значений, т.е. Трактуя эти равенства как закон Ома для участка цепи, можно заметить, что величины ZL =wL и ZC = аналогичны по своему значению сопротивлению R. Используя такую интерпретацию, можно видеть, что уравнение (¨¨¨) приобретает тригонометрический смысл: напряжения на емкости и индуктивности оказываются сдвинутыми по фазе на ±p/2 относительно напряжения на сопротивлении R. Здесь удобнее использовать векторное представление колебаний, которое рассматривалось в прошлом семестре. Любое гармо-ническое колебание y(t) = Asin(wt + j) можно представить в векторном виде: длина вектора определяется амплитудой колебаний А, начальная фаза определяет угол отклонения вектора от горизональной оси, а w - частоту, с которой вектор вращается вокруг начала координат. В этом представлении напряжение на сопротивлении R изображается в виде горизонтально-
или, выражая UR, UL и UC через произведения тока на соответствующие сопротивления, . Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим: . (·) При выводе этого выражения учтено, что для последовательной цепи IR = IL= IC =I. Полученное выражение по своей структуре аналогично закону Ома для цепи постоянного тока. Поэтому оно называется законом Ома для переменного тока. Важно отметить, что между током и напряжением существует сдвиг фаз, величина которого определяется из рис.30: или . § 8 – 4 Мощность переменного тока. Значение мгновенной мощности W определим по аналогии с законом Джоуля – Ленца для постоянного тока: W =IU = I0U0 sinwt sin(wt +j). Однако, с практической точки зрения более полезно вычислить среднюю мощность за единицу времени. Определим среднее значение за время одного колебания любой переменной величины y(t) как интеграл, средний за период: . Тогда = = + = - + + . Интегралы в последнем выражении все равны нулю, т.к. среднее значение за период лю-бой периодической величины равно нулю.Поэтому , где Uэфф= ; Iэфф = - так называемые эффективные значения напряжения и тока. Формула мощности для переменного тока отличается от аналогичной формулы для постоянного тока лишь коэффициентом cosj, который принято называть коэффициентом мощности. Увеличение этого коэффициента является важной практической задачей. Там, где сдвиг фаз между током и напряжением достигает 900, средняя мощность оказывается равной нулю. Лекция 9 Колебательный контур.. § 9 –1 Затухающие колебания в колебательном контуре. Рассмотрим последовательную цепь, содержащую катушку индуктивности L, ем-кость С, сопротивление R и ключ. Предположим, что на емкости в начальный момент вре-мени имеется некоторый заряд. Если цепь замыкается, то в цепи возникает электрический ток. Наличие катушки индуктивности обуславливает возникновение ЭДС самоиндукции, которая своим действием препятствует возрастанию разрядного тока конденсатора. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, ток через индуктив-ность достигает максимума. В дальнейшем ЭДС самоиндукции стремится поддержать этот ток, что приводит к перезарядке конденсатора до некоторого напряжения обратной поляр-ности. Процесс перезарядки конденсатора повторяется определенное число раз в зави-симости от величины потерь энергии на сопротивлении. Способность контура к переза-рядке характеризуется качеством контура или добротностью. Добротность контура Q опре-деляется отношением энергии, запасенной на конденсаторе или в катушке индуктивности, к величине потерь энергии на сопротивлении за период: Для количественного описания процессов в последовательном колебательном кон-туре используется уравнение, полученное ранее при рассмотрении переменного тока: E (t), (++) с той разницей, что в нашем случае внешняя ЭДС отсутствует так, что уравнение прини-мает вид: 0. Введем обозначения: ; b = и учтем, что по опеределению I= .Тогда наше уравнение принимает вид, знакомый по курсу прошлого семестра: где в качестве переменной выступает заряд q. Решением этого дифференциального урав-нения служит функция q(t) = q0 e -bt cos(wt + j), где величины q0 и j определяются началь-ными условиями , а w2 = с учетом того, что в большинстве случаев b<<w0. Очевидно, что при b = 0 колебания в контуре становятся незатухающими, и частота этих колебаний равна . Добротность контура Q может быть выражена через его пара-метры. Энергия, запасенная в индуктивности, равна L /2., а мощность, выделяемая на сопротив-лении, - /2. За период Т = на сопротивлении выделится энергия R T/2 = p . Поэтому Q = 2p . Как видно из полусенного выражения, величина добротности определяется лишь парамет-рами контура L,C и R. § 9 –2 Вынужденные колебания в контуре. Резонанс. Включим в цепь рассматриваемого контура внешнюю переменную ЭДС E = E0 sin(wt+j). Повторяя процедуру прошлого семестра, найдем графическое решение уравнения (++). Бу-дем искать решение уравнения в виде q(t) = q0sin wt. Тогда . Подставляя эти величины в исходное уравнение, имеем: .
Из полученного выражения видно, что амплитуда заряда на конденсатора изменяется в зависимости от частоты внешней ЭДС, достигая максимума, когда подкоренное выражение минимально. Это достигается тогда, когда ; если b<<w0, то wР» w0 называется резонансной частотой. В момент резонанса q0 = , и напря-жение на конденсаторе (*) в Q раз больше,чем напряжение внешней ЭДС. Графическая зависимость напряжения на
Из этого соотношения следует, что Dw =b. Тогда напряжение на емкости можно записать так: . Сравнивая это выражение с формулой (*), можно заметить, что Q = . Последняя фор-мула имеет важный практический смысл. Она позволяет расчитать добротность из экспери-ментально полученной резонанмной кривой. Для этого достаточно провести горизонталь-ную прямую на уровне qрез до пересечения с резонансной кривой и спроектировать точки пересечения на ось частот. Этот интервал и определит полосу пропускания. Колебательные контура широко применяются в телевизорах, радиоприемниках, передатчиках, в раздичных радиоустройствах избирательного действия и т.п. Мы же рас-смотрим более подробно одно из атмосферных явлений, которое можно представить как разряд конденсатора в колебательном контуре. Это явление – гроза, точнее возникновение молнии. § 9 –3 Простешая теория грозы. Дождь, как известно, обусловлен тем, что вертикальные потоки нагретого влажного воздуха переносят влагу в верхние слои атмосферы, где водяные пары конденсируются в мельчайшие капельки. Током воздуха капельки увлекаются вверх, постепенно увеличиваясь в своих размерах. Объем (вес) капельки растет пропорционально кубу ее радиуса, тогда как подъемная сила воздушного потока пропорциональна всего лишь квадрату радиуса капли. Поэтому наступает момент, когда капля перестает подниматься и начинает падать. При па-дении капли образуют целый поток, который выталкивает перед собой холодный воздух из верхних слоев атмосферы. Когда капли достигают поверхности Земли, образуется дождь. Началу дождя предшествует холодный вихрь. Возникновение же грозы зависит от того, переносят капли электрический заряд или не переносят. Описание механизма переноса заряда предложено американским ученым Вильямсом. Согласно его гипотезе все опре-деляется структурой грозового облака. Полеты самолетов внутрь таких облаков показали,
ионы, тогда как положительные ионы отталкиваются. Верхняя же часть капли оказывает на ионы меньшее влияние.В результате капли притягивают отрицательные тоны и при-обретают отрицательный заряд. Положительный же заряд переносится в верхнюю часть ту-чи и постепенно переходит в ионосферу. Накопление заряда в различных частях грозового облака приводит к появлению огромной разности потенциалов, достигающей 100 млн Вольт. Эта разность потенциалов может образовываться как между различными облаками, так и между облаком и земной поверхностью. Рассмотрим второй случай. По мере накоп-ления заряда в нижней части облака вблизи его нижней кромки образуется электрическое поле, которое ионизирует воздух. Поле различно в разных точках, поэтому и степень поляризации будет различной. Там, где воздух ионизируется полностью, образуется новое состояние вещества – плазма. Плазма начинает светиться и для уменьшения потерь энергии на излучение стремится образовать шарообразную форму. Внешне это выглядит так: из тучи внезапно вываливается небольшой светящийся комок, получивший название белого лидера, и устремляется к Земле. Скорость его движения достигает 50 000 км/сек. Но лидер двигается с остановками, во время которых может произойти его деление. Движение лидера подготавливает канал для основного разряда. Если лидер делится, то возможно ветвление разряда. Когда до Земли остается около 100 метров, с земной поверхности навстречу лидеру поднимается заряд, стремящийся двигаться вдоль острых высоких предметов. При смы-кании лидера с этим зарядом образуется канал, по которому отрицательный заряд попадает на Землю. Образуется гигантская искра, но длительность этого искрового разряда мала. Через доли секунды из тучи выходит новый комок – так называемый темный лидер. Он с большой скоростью и без остановки устремляется к Земле по подготовленному каналу. Вслед за ним идет основной разряд. Искра возникает снова. Темный лидер может образовываться несколько раз, вызывая несколько ударов молнии (рекорд – 42 раза). Каждый удар молнии переносит до 40 Кулонов, но отрицательный заряд не удержи-вается на Земле. Между земной поверхностью и ионосферой существует разность потен-циалов около 400 киловольт, поэтому в атмосфере постоянно идет ток, направленный вверх. Его плотность мала – несколько микроампер на кв. метр (1 мкА = 10 –6 А), но общее значение тока достигает 1800 Ампер. Мощность, развиваемая в такой цепи, превышает 700 Мегаватт. Грозы лишь компенсируют утечку заряда. Ежесекундно на Земле происходит около 300 гроз. Средний разрядный ток в них также равен 1800 Ампер, обеспечивая неизменность заряда Земли. § 9 –4 Теория Максвелла. Рассмотрим проводящий виток, помещенный в изменяющееся магнитное поле. По за-
E = - ; Ф = . Если виток не изменяет своей формы, то знак производной можно внести под знак инте-грала. Тогда получим: E = - , где наклонные означают частную производную (предполагается, что значения В могут зависить от времени и координат). Согласно своему определению ЭДС характеризует работу, совершаемую стороннми силами по всему замкнутому контуру (витку), т.е. E = , где Е представляет собой напряженность сторонних сил, создающих индукционный ток. Виток замкнут и однороден, поэтому силовые линии электрического поля тоже должны быть замкнутыми, т.е. индуци-рованное в проводнике электрическое поле является вихревым. Максвелл предположил, что наличие проводника не является обязательным: силовые линии электрического поля останутся замкнутыми и в свободном пространстве. На основании этого он сделал вывод, что всякое изменяющееся во времени магнитное поле порждает вокруг себя вихревое электрическое поле. Это положение называют первой гипотезой Максвелла, Закон Фара-дея теперь записывается так: . (I) Кроме этого существует второе положеие теории Максвелла, которое вытекает из рассмотрения теоремы о циркуляции магнитного поля. Как было показано, циркуляция магнитного поля имеет следующий вид: .
ра магнитной индукции остается справедливой и для контура L за счет того, что в простран-стве между пластинами также имеется некий «волшебный» ток Iволш, причем полный ток в цепи складывается из тока проводимости I пров и этого «волшебного» тока,т.е. В проводниках I пров = Iполн, а в пространстве между пластинами Iполн = Iволш. Нетрудно видеть, что при этих условиях теорема о циркуляции справедлива везде. Обратимся к рассмотрению «волшебного тока» внутри пластин конденсатора. Мы знаем, что ток I пров =dQ/dt. На конденсаторе Q = Ss (s - плотность поверхностных зарядов, а S – площадь пластин конденсатора). Напряженность электрического поля внутри конден-сатора равна E = s/e0 или D0 = s, где D0 = e0 E – вектор электрического смещения. С учетом этого запишем В то же время очевидно, что I пров = Iволш, поэтому последний ток Максвелл назвал током смещения. Теперь теорема о циркуляции принимает новый вид, где под знаком суммы стоит полный ток Iполн: . Для проводников произвольного сечения и для проиэвольной формы пластин конденсатора токи выражаются через соответствующее суммирование плотности токов: Iпров = ; I смещ = , так что теорема о полном токе приобретает следующий вид: . (II) Если проводники отсутствуют, ток проводимости равен нулю, и уравнение (II) имеет вид: . (III) Таким образом, второе положение теории Максвелла может быть сформулировано так: Всякое изменяющееся во времени электрическое поле порождает вокруг себя магнитное вихревре поле. Уравнения (I) и (II) называются уравнениями Максвелла. Вместе с уравнениями и .
Выберем малые прямоугольники со сторонами dx, dy и dz (см. рис.) Вычислим циркуляции векторов Е и В по периметру прямоугольников. Для вычисления используем тот же прием, с помощью которого была определена величина вектора магнитной индукции на оси длин-ного соленоида. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке, и учтем, что величины Е и В могут зависеть от х. На расстоянии dx от начала координат они принимают значения Е + dЕ и В + dВ соответственно. При этих условиях или . Аналогично для вектора В . Значения (E+dE)dy и Bdz взяты со знаком минус потому, что ветора на соответствующих отрезках направлены против выбранного обхода контуров. Подставляя вычисленные значе-ния циркуляции в уравнения (I) и (III), получим: и , откуда ; , где производная по х имеет смысл частной произ- водной, поэтому правильнее заменить знак на знак частной производной : ; . Диффернецируя первое уравнение по х, а второе – по t, и сравнивая полученные результаты, имеем: . Из курса механики известно, что это уравнение относится к так называемым волновым уравнениям, решению которых соответствует бегущая волна. Скорость распространения волны определяется коэффициентом, стоящим перед второй производной по времени: . Аналогичное уравнение может быть получено и для вектора магнитной индукции В.Из ура- внений (I) и (III) следует, что электрический и магнитный вектора связаны между собой, по-
волны поперечны, т.к. вектора Е иВ направлены по осям Y и Z, тогда как волна распро-страняется вдоль оси Х. волны поляризованы, т.к. изменяющееся магнитное поле перпендикулярно индуцирован-ному им электрическому. Это электрическое поле создает переменное магнитное, плоскость колебаний которого сов-падает с плоскостью первичного магнитного поля (см. рис.37) так, что магнитное поле сох-раняет свою ориентацию в пространстве. Если в любой плоскости, перпендикулярной нап-равлению распространения, значения Е и В не зависят от координат, то волна называется плоской, и ее можно записать так: В этом выражении - волновое число, l = сТ, w=2p/T. Формула плоской электромаг-нитной волны будет часто использоваться при рассмотрении оптических явлений. Свето-выми являются волны, длина которых лежит в интервале от 0,4 до 0,7 мкм. Волна, в которой колебания имеют одну частоту, называется монохроматической (одноцветной). Белый свет содержит не менее семи основных цветов. Для упрошения математических выкладок часто ограничиваются рассмотрением монохроматических волн.
О П Т И К А Лекция 10 Представления о свете. §!0 –1 Развитие представлений о свете. Хотя попытки дать объяснения природы света были сделаны еще в древности (Евклид и Лукреций Кар), первая стройная теория света была разработа И.Ньютоном в кон-це семнадца-того века. Ньютон считал, что свет – это поток мельчайших частиц – корпус-кул, поэтому его теория получила название корпускулярной. Одновременно с ним Гук и Гюйгенс развивали волновую теорию, однако она не получила широкого признания отчасти из-за высокого авторитета Ньютона и отчасти из-за недостатков самой теории. которая представляла свет как упругие колебания среды Ньютон установил, что свет в представле-ниях волновой теории должен быть поперечными колебаниями, что казалось маловероят-ным, учитывая эмпирические факты распространение света в воздухе и,особенно, в меж-звездном пространстве.Лишь позднее была предложена гипотеза о существовании особой среды,заполняющей всю Вселенную,- эфира, упругие свойства которого обеспечивали тре-буемую скорость распространения света.Успехи волновой теории связаны с работами Юн-га, Френеля и Пуассона, которые были выполнены в первой половине XIX века. Работы этих исследователей позволили объяснить такие явления как интерференция и дифракция света. Д.Максвелл установил, что свет – это электромагнитные волны. В тот момент, когда волновая теория стала общепризнанной, были установлены закономерности излучения света атомами и открыт фотоэффект. Эти факты противоречили волновой теории. Позднее была развита новая теория – дуалистическая, где свету приписывались и волновые и кор-пускулярные свойства. Луи де Бройль высказал гипотезу о всеобщем дуализме материи: каждая частица обладает волновыми свойствами, и каждой волне могут быть приписаны определенная масса и импульс. Свет – лишь пример проявления дуализма в природе. В нашем курсе мы будем рассматривать преимущественно волновые явления. §!0 –2 Законы отражения и преломления света. Волновая теория широко использует принцип Гюйгенса: каждая точка среды, до которой дошел волновой фронт, становится источником вторичных колебаний так, что положение волнового фронта в любой последующий промежуток времени находится как огибающая этих вторичных возбуждений. Отметим, что волновым фронтом называется поверхность, соединяющая точки,колебания в которых имеют одинаковые фазы.
как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому можно записать: . Сравнивая эти два выражения, можно заметить, что . Как уже упоминалось,скорость электромагнитных волн в среде v =c/ = c/n.Поэтому отношение синусов можно приравнять к показателю преломления второй среды относи-тельно первой: . Если свет распространяется в обратном направлении, т.е из среды 2 в среду 1, то закон преломления остается в силе, но теперь n12 – это показатель преломления среды 1 относи-тельно среды 2. Можно заметить, что в этом случае угол преломления становится больше угла падения, но существует предельное значение угла преломления, т.к. синус не может быть больше единицы. Угол падения, который соответствует этому углу преломления назы-вается предельным. При дальнейшем увеличении угла падения свет не проходит в среду 1, испытывая полное внутреннее отражение.
§!0 –3 Явление интерференции. Интерференцией называется сложение волн от двух или нескольких источников, когда в результате сложения нарущается принцип суперпозиции интенсивностей. Как сле-дует из прошлых лекций, плотности энергии электрического и магнитного полей пропор-циональны квадратамвеличин Е и В, поэтому можно считать, что плотность энергии в элек-тромагнитной волне также пропорциональна квадрату амплитуды волны. Принято считать, что плотность энергии определяет интенсивность световой волны, которую человеческий глаз оценивает как освещенность. При сложении волн должен выполняться принцип супер-позиции энергий каждой из слагаемых волн. Наша повседневная практика дает примеры справедливости этого положения: две лампы дают в два раза больше света, чем одна. Можно показать, однако, что этот принцип выполняется не всегда.
а при k(x2 –x1) =(2n-1) p . Очевидно, что при условии А1=А2 или в зависимости от разности хода x2 –x1. Если учесть, что энергия каждой волны равна А2, суммарная энергия должна равняться 2А2, тогда как результат сложения либо в два раза больше, чем суммарная энергия, либо равен нулю, т.е. кажется, что не выполняется закон сохранения энергии. Колебания, для которых подобные результаты имеют место, называются когерентными. Если принцип суперпозиции выполняется, то источники называют некогерентными. Для того, чтобы волны давали когерентные колебания, необходимо выполнение трех условий: 1.должны иметь одинаковую частоту, 2. разность фаз колебаний должна быть постоянной хотя бы на время волны наблюдений, 3. колебания каждой из суммируемых волн должны лежать в одной плоскости. Практическое получение когерентных колебаний связано с определенными трудностями. Необходимо иметь в виду, что световые волны получаются при излучении атомов, когда электорны переходят с одного энергетического уровня на другой. Время излучения крайне незначительно и составляет около 10 –8 сек. Новый кат излучения происходит с другой на-чальной фазой, которая раз от раза изменяется случайным образом. На языке корпускуляр-
если максимальная разность хода не превышает длину цуга L = ct, где t = 10 –8 сек – время излучения цуга,т.е. L=3м.
«Раздвоение» источника достигается либо преломлением в призме, либо отражением в двух зеркалах. Угол «разворота» зеркал и преломляющий угол призмы близки к 1800 для того, чтобы достичь наилучшей видимости картины интерференции. Как было показано, амплитуда суммарных колебаний определяется разностью хода интер-ферирующих волн или разностью фаз складывающихся колебаний. Если разность фаз Dj изменяется случайным образом, то среднее значение cosDj за время наблюдения равно ну-лю, и мы видим обыкновенное сложение интенсивностей. Если же источники когерентны, то при условии k(x2 –x1) = 2pn колебания дадут максимум суммарной амплитуды, а при k(x2 –x1) = (2n-1)p - минимум. Учитывая, что k = 2p/l, (l - длина волны) условия макси-мума и минимума интенсивностей можно записать так: (x2 –x1) = 2nl/2 для максимума и (x2 –x1) = (2n-1)l/2 для минимума. Это значит, что если разность хода интерферирующих волн равна четному числу полуволн, то получается максимум, а если нечетному – минимум интенсивности. Нарушение закона сохранения энергии при этом не происходит. Она лишь перераспределяется – в max – боль-ше, а в min меньше, но средняя энергия остается неизменной. Глаз воспринимает такое перераспределение как чередование темных и светлых полос, контрастность которых определяется соотношением интенсивностей интерферирующих источников. §!0 –4 Полосы равной толщины. Наиболее часто в повседневной жизни явление интерференции проявляется в так называемых полосах равной толщины, которые получаются при отражении света от тонких
1 и 2 D = 2n(AD) – BC +l/2. Величина l/2 добавляется потому, что происходит изменение фазы волны на 180 0, что эквивалентно увеличению пути на l/2.Из рис можно увидить, что AD = DF/cosb;AF = DFtgb;AC = 2AF= =2DFtgb;BC =ACsina = 2DFtgb sina. Согласно закону преломления света sina = nsinb. C учетом этого D= 2nDF/cosb - 2DFsinatgb + +l/2 = 2nDF(1- -sin2b)/cosb +l/2 = 2DFcosb +l/2. Если D= (2n-1)l/2, то 2DFncosb =nl cоответствует условию минимума освещенности, а D= =nl= 2DFncosb +l/2 – условию максимума.Условия интерференции будут одинаковыми для всех мест, где толщина пленки также одинакова, в связи с чем говорят, что интерференци-онная картина локализована на поверхности пленки. При наблюдении в белом свете карти-на усложняется, т.к. для каждого из цветовых компонент белого света условия max и min будут свои. На поверхности пленки будут видны цветные пятна (вспомните пленки бензи-на и масла на поверхности луж). Частным случаем полос равной толщины являются
, где m – номер наблюдаеиого кольца. Пренебрегая малой величиной h2 по сравнению с ра-диусом линзы R,находим . Для темных колец D = (2m+1)l/2 = 2h + l/2 и 2h =ml. Подставляя это соотношение в формулу для квадрата радиуса кольца, получим: .
Лекция 11 Дифракция света. § 11 –1Метод зон Френеля. Дифракией называется когерентное рассеяние света на объектах, геометрические размеры которых сранимы с длиной световой волны. Наблюдающаяся дифракционная кар-тина является результатом интерференции вторичных источников, образующихся на по-верхности объекта. Расчет интерференционной картины можно проводить пользуясь мето-дом суперпозиции, однако применение этого метода сопряжено с известными математи-ческими трудностями. В связи мы ограничимся рассмотрения качественного подхода к ре-шению поставленной задачи, развитого Френелем. Основной идеей, определяющей сущ-ность такого рассмотрения, является принцип Гюйгенса –Френеля, который представляет собой дополненный принцип Гюйгенса. Френель постулировал, что все элементарные вто-ричные источники являются когерентнми. Для оценки результирующей амплитуды колебаний в точке наблюдения был разработан специальный метод, получивший название метода зон Френеля. Согласно этому методу волновой фронт (будем называть волновым фронтом поверхность, которая соединяет все точки, колеблющиеся в одинаковой фазе) раз-бивается на отдельные участки, именуемые зонами. Разбиение на зоны должно удовлетво-рять двум условиям: 1.площади всех зон одинаковы, 2.расстояния от двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на половину длины волны. Первое условие означает, что амплитуды колебаний от всех зон в точке наблюдения будут одинаковыми, тогда как из второго условия следует, что колебания двух соседних зон скла-дываются в противофазе. В этом случае вместо вычисления сложных интегралов достаточ-но подсчитать число зон. Если оно – четно – в точке наблюдения будет минимум освещен-ности (зоны попарно гасят друг друга), если же количество зон на участке волнового фрон-та, видимого из точки наблюдения, окажется нечетным – в ней будет конечная освещен-ность. § 11 –2 Метод векторных диаграмм. Для оценки вкладов от каждой зоны в суммарную освещенность используем метод векторных диаграмм. Для этого разобьем каждую зону на ряд узких «подзон» так, что каж-дая подзона отличается от соседней лишь небольшим сдигом по фазе. Колебания каждой из «подзон» будем представлять в виде вектора, длина которого определяется амплитудой ко-
Действие двух зон должно быть равным нулю, но оказывается, что амплитуды колебаний зон не совсем одтнаковые. Их величина зависит от косинуса угла между нормалью к по-верхности зоны и направлением на точку наблюдения. Результат сложения двух и трех зон
ет. Оно оказывается в два раза меньше, чем действие первой зоны. Витки спирали располо-жены достаточно плотно, и при большом количестве открытыз зон суммарная амплитуда АS » А0 остается практически неизменной при изменении числа зон. § 11 –3 Дифракция Френеля на круглом отверстии.
дошедший до экрана, имеет радиус SB = а (см. рис.47). Расстояние от точки наблюдения О до плоскости экрана равно МО = b+d. Мысленно разобьем волновой фронт на концентри-ческие зоны (на рис.47 показана одна зона) так, что расстояние от n – зоны до точки наблю-дения О равно b + nl/2. Из треугольника SBM по теореме Пифагора получим: МВ2 = SB2 – SM2 = . (IV) Аналогично из DОМВ: = . (V) Члены, содержащие множители l2 и d2, отброшены как малые по сравнению с a и b. При-равнивая правые части уравнений (IV) и (V), получим Выражая отсюда d и подставляя его в (IV), получим формулу для радиуса любой зоны: . Численные значения радиуса первой зоны можно оценить, полагая a» b ~ 1м, l» 0,5мкм. Подстановка этих значений показывает, что r1 »0,3 мм. Поэтому при диаметре отверстия 1 - -2 мм в нем уложится 5-7 зон. Поскольку их амплитуды примерно одинаковы, результат сложения существенно зависит от числа зон. При нечетном числе зон в точке наблюдения
мент, когда точка наблюдения находится на оси OS, а в отверстии укладывается нечетное число зон (например – три). Когда часть наружной зоны начнет закрываться, освещенность уменьшится.Одновременно с противоположного края отверстия появится часть новой зоны, которая еще больше уменьшит освещенность (здесь нада вспомнить, что соседние зоны гасят друг друга). Поэтому при дальнейшем удалении точки наблюдения от оси наступит момент, когда освещенность уменьшится до нуля..Это условие будет выполняться для всех точек, находящихся на окружности, радиус которой определяется расстоянием от точки на-блюдения до оси OS. Вокруг светлой точки появится темное кольцо, продолжая рассужде-ния подобным образом, можно придти к заключению, что дифракционная картина от круг-лого отверстия пред-ставляет собой чередование чветлых и темных колец. § 11 –4 Дифракция Френеля на круглом экране.
ния от диска до точки В число закрытых зон будет меняться, и начало вектора АД станет описывать окружность вокруг центра спирали, тогда как конец вектора всегда находится в ее центре. При большом числе открытых зон длина вектора почти не изменяется. Поэтому в точке В будет наблюдаться светлое пятно (пятно Пуассона). § 11 –5 Дифракция Фраунгофера. Этот вид дифракции наблюдается в параллельных лучах, когда волновой фронт ста-новится плоским, а зоны Френеля принимают вид узких прямоугольных полосок. Опти-
границы зон изображаются точками М 0,М1, М2 …, а отрезки М 0М1, М1М2 определяют ширину первой, второй и т.д.зон.Из рис видно,что в расчете не учитывается разность хода от плоскости М0Р до фокуса линзы Л, предназначенной для создания резкого изображения на экране. Это является следствием таутохронизма линзы, означающего, что лучи прохо-дят пути от М0Р до фокуса линзы за одинаковое время. Попутно заметим, что линза ЛК предназначена для создания параллельного пучка лучей. Предположим, что угол j выбран таким образом, что на ширине щели укладывается целое число зон, т.е. МР = kl/2 (k = 1,2,3 …). В то же время из DМ0РМ следует, что МР = ММ0 sin j или MP = bsinj. Если число зон четное (k =2m), то выбранное направление соответствует минимуму освещенности (зоны попарно гасят друг друга), а если – нечетно (k = 2m-1) – то максимуму. Таким образом, имеем: bsinj = (2ь-1)l/2 – условие максимума. При движении точки наблюдения в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка (вдоль длинной стороны щели) картина не изменяется, и на экране видны чере-дующиеся темные и светлые полосы. Однако интенсивности светлых полос быстро убы-вают так, что практически с трудом удается наблюдать более двух таких полос с каждой стороны от центрального максимума. § 11 –6 Дифракционная решетка.
ции на одной щели, и применяя принцип Гюйгенса-Френеля, можно заметить, что теперь в каждой точке экрана для наблюдений собираются лучи, идущие от всех N щелей. Для вы-числения результата сложения выделим в каждой щели одинаковые точки(например- верх-ние).Две таких точки в соседних щелях при заданном угле j имеют разность фаз, равную q = . В точке наблюдения колебания от всех щелей сложатся в одинаковых фазах, если разность фаз q равна 2pn (n =0,1,2…), т.е. q = = 2pn, откуда получается ус-ловие для максимумов dsinj = nl. Можно показать, что кроме этих максимумов существу-ют еще другие, положения которых зависит от числа щелей, но интенсивность их крайне не значительна. Чтобы различать эти максимумы с теми, которые удовлетворяют условию dsinj = nl, принято называть их дополнительными максимумами, а максимумы, соответ-ствующие условию dsinj = nl - главными. Значение числа n определяет порядок главного максимума (первый максимум, второй и т.д) Между максимумами должны располагаться минимумы освещенности, но с практической точки зрения они не представляют особого интереса и в нашем курсе не рассматриваются. Полученные условия главных максимумов справедливы для одной длины волны све-та. Если же свет – белый, то для каждого из его составляющих цветов условия максимумов будут соответствовать различным углам j, т.е. на экране получится набор цветных полос. Другими словами, дифракционная решетка позволяет анализировать спектральный состав световых лучей. Поэтому решетку можно использовать как спектральный аппарат. Все спектральные аппараты характеризуются такими величинами как дисперсионная область, угловая дисперсия и разрешающая способность. Дисперсионная область G определяет ширину спектрального интервала отl доl+ Dl, в котором максимумы для различных волн не перекрываются друг с другом.Величина G =l/n, где n - порядок максимума. Угловая дисперсия D определяет угловое расстояние между волнами, длина которых отличается на единицу (длины).Выражение для определения D можно получить, дифферен-цируя условия главных максимумов: dcosj =lnd. Отсюда D определяется как . Под разрешающей способностью А подразумевается возможность спектрального аппарата различать линии, соответствующие близким значениям длин волн l и l + dl. Она определяется выражением . § 11 –7 Дифракция рентгеновских лучей. Рентгеновскими лучами называют электромагнитное излучение, длина волн которого примерно равна!0 –10 м. Длина волны рентгеновских лучей много меньше световых волн,
заметить, что разность хода между интерферирующими лучами d =AD +DC – BC. Из DADF AD = FD/sina; AF = dtga, а из DАВС ВС = 2AFcosa. С учетом того, что AD = DC, имеем: Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.045 сек.) |