Основы гидродинамического подобия

При решении прикладных задач в гидромеханике широко при­меняются методы моделирования физических процессов. Суть этих и годов заключается в том, что при расчете конкретной гидравли­ческой системы используются закономерности, полученные ранее при изучении (или экспериментальном исследовании) подобных процессов в других гидросистемах. В этом случае существенно упрощается решение многих практических задач за счет использования уже известных (подобных) решений. Кроме того, с помощью методов моделирования можно провести исследование работы конкретного устройства или сооружения и лабораторных условиях на модели, выполненной в существенно меньших размерах. Это позволяет в лабораторной обстановке выявить недостатки исследуемого объекта и внести коррективы в его конструкцию. Лабораторное моделирование дает возможность значительно экономить средства при разработке новых машин и сооружений. Эффективность методов моделирования во многом опреде­ляется правильностью подбора подобного физического процес­са (подобной модели), т.е. решения вопроса о том, какие явле­ния и в каких случаях можно считать подобными, а какие нет. Для оценки степени подобия двух процессов в гидромеханике используют так называемые критерии подобия — величины (обыч­но безразмерные), полученные теоретически, но правомочность использования которых подтверждена практикой. Данный подраздел посвящен выбору таких критериев подобия и анализу целесообразности их применения при решении различных прак­тических задач.

Например, для соблюдения полного гидродинамического по­добия потоков I и II, показанных на рис. 4.1, необходимо обеспе­чить три частных вида их подобия: геометрическое, кинематичес­кое и динамическое, причем во всех сходственных сечениях срав­ниваемых потоков.

Геометрическое подобие подразумевает подобие геометричес­ких размеров в сходственных точках, т.е. отношение любого раз­мера в потоке I к аналогичному размеру в потоке II, называемое масштабом размеров, должно быть постоянным:

= =...k1=const

В гидравлике под геометрическим подобием понимают подобии русел, по которым движется жидкость, в том числе их расположение относительно горизонта. Поэтому геометрическое подобие двух потоков может быть достаточно легко проверено сравнением размеров двух русел.

Кинематическое подобие подразумевает подобие скоростей сходственных точках, т.е. отношение любой скорости в первом потоке к аналогичной скорости во втором потоке, называемо масштабом скорости, должно являться постоянной величиной:

= =...kv=const

Для выбора критерия (или признака), по которому можно оценить кинематическое подобие потоков, рассмотрим два геометрически подобных потока (см. рис. 4.1). Пусть они являются также кинематически подобными. Тогда эпюра распределения скоростей в сечении 1—1 потока I повторяет эпюру скоростей в сечении 1— потока II. Действительно, эти эпюры отличаются только по размерам, так как любая скорость в потоке I в k_v раз больше таковой потоке II, т.е. законы распределения скоростей в сечениях 1— обоих потоков одинаковы. То же будет справедливо для сечений 2—2, изображенных на рис. 4.1, и для любых других сечений этих потоков.

Таким образом, признаками кинематического подобия двух геометрически подобных потоков могут являться одинаковые законы распределения скоростей в сходственных сечениях.

Динамическое подобие подразумевает подобие сил (по величине и направлению), действующих в сходственных точках, т.е. от

= =...kF=const

В потоках реальных жидкостей действуют различные силы: дав­ления, трения, тяжести и др. Сравнение всех этих сил в сходствен­ных точках для двух потоков представляет собой весьма сложную задачу. Поэтому оценку динамического подобия проводят, срав­нивая различные силы в данном потоке с одной из сил, которую пользуют в качестве силы сравнения. За такую силу принимают силу инерции F_ин.

При оценке динамического подобия находят отношение какой-либо конкретной силы к F_ин. Если для двух потоков полученные отношения одинаковы, то потоки считаются динамически подоб­ными. Такие отношения называют критериями (или числами) подобия.

Критериев подобия, используемых в гидромеханике, достаточ­но много. Наиболее общим из них является число Ньютона Ne. Оно пропорционально отношению суммарной активной силы к силе инерции:

N e~F∑/Fин (4.1)

Однако широкого практического использования этот критерий не получил, в первую очередь из-за существенных сложностей при его вычислении. На практике используют частные критерии подо­бия. Они вычисляются по тому же принципу, что и критерий Нью­тона, но в формулу вида (4.1) подставляют не суммарную силу F_∑, а частную силу, которая в данном потоке играет наиболее важную (доминирующую) роль и определяет течение.

В качестве таких сил могут быть использованы силы давления, тяжести и др. Но, как показывает практика, наиболее важными для напорных потоков реальной жидкости являются силы трения Fтр. Критерий с использованием этих сил называют числом Рейнольдса Re. Этот безразмерный параметр принято определять как отношение сил инерции F_nH к силам трения F_Tp:

Re~Fин/F_Tр (4.2)

Таким образом, число Рейнольдса является частным случаем числа Ньютона, но при его вычислении принято использовать обратное отношение (4.2).

Из рассмотренного можно сделать вывод, что два напорных потока являются динамически подобными, если в их сходствен­ных сечениях одинаковы числа Рейнольдса.

Рис. 4.2. Схемы установки пластины поперек (а) и вдоль (б) потока.

Таким образом, из анализа частных подобий следует, что для обеспечения полного гидродинамического подобия напорных потоков необходимо: выполнить геометрическое подобие;

обеспечить одинаковые законы распределения скоростей в сходственных сечениях;

иметь одинаковые числа Рейнольдса в сходственных сечениях.

Практика показывает, что законы распределения скоростей в сечениях напорных потоков однозначно определяются значением числа Рейнольдса. Поэтому все отмеченное выше позволяет сформулировать закон Рейнольдса: для обеспечения полного гидродинамического подобия двух геометрически подобных напорных потоков необходимо равенство чисел Рейнольдса, подсчитанных для любой пары сходственных сечений этих потоков.

Критерий, или число, Рейнольдса Re имеет большое значение для практических расчетов машиностроительных гидросистем.

Для уяснения физического смысла числа Рейнольдса может быть использован следующий опыт. В поток жидкости перпендикулярно направлению движения поместим плоскую пластину бесконечно малой толщины (рис. 4.2, а). Силу, с которой поток воздействует на эту пластину, будем считать пропорциональной F_KH. Затем установим эту же пластину в тот же поток, но параллельно направлению движения (рис. 4.2, б). Силу, с которой поток воздействует на пластину в этом случае, будем считать пропорциональной F_Tр. Подставив эти силы в (4.2), получим величину, пропорциональную числу Рейнольдса Re.

Для использования Re в практических расчетах получим фор мулу для его вычисления. Учтем, что сила инерции Fин, с которой поток может воздействовать на неподвижную преграду, пропорциональна произведению плотности жидкости р, условной площади S и квадрата скорости v²:

Fин ~ РS v² (4.3)

Сила трения пропорциональна произведению касательных напряжений τ и площади условной поверхности S:

Fтр~τS

С учетом (1.5) и (1.6)

Fтр ~ µ S ~ vp S (4.4)

Где l - условный геометрический размер поперечного сечения потока

Подставив зависимости (4.4) и (4.3) в (4.2) и введя знак равенства вместо знака пропорциональности, после математических преобразований получим формулу, по которой принято вычис­лять число Рейнольдса:

При использовании полученной формулы для потоков жидкости, движущихся в круглых трубах, в качестве скорости v берут среднюю скорость в сечении, а в качестве условного размера l — внутренний диаметр трубы d. Тогда

Re = (4.5)

Для напорных потоков с некруглыми сечениями вводят понятие гидравлического диаметра Dr. За эту величину принимают отношение площади сечения потока S к периметру П этого сечения, увеличенное в четыре раза, т.е. D_r = 4-S/П. В формуле (4.5) вместо им (метрического диаметра d используют гидравлический диаметр Dr, т.е.

Re = (4.6)

Отметим, что для круглого сечения значения геометрического d и гидравлического Dr диаметров совпадают.

Поиск по сайту: