Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся течение элементарной струйки идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы — силы тяжести (рис. 3.4). В рассматриваемом случае в жидкости могут действовать нормальные напряжения сжатия (давление), но не могут действовать касательные напряжения (тре­ние), так как у жидкости отсутствует вязкость.

Для вывода уравнения Бернулли выберем два сечения 1—1 и 2 -2, а также произвольную горизонтальную поверхность 0—0. Будем считать, что в сечении 1—1 площадью S₁ существует

0-0. Сечение 2—2 характеризуется аналогичными параметрами, но с индексом «2» (S_2,u_2,P₂ и z₂).

Пусть за время dt участок струйки, ограниченный сечениями 1-1 и 2-2 сдвинулся и занял новое положение, ограниченное сечениями 1’—1’ и 2'—2'. Тогда первое сечение переместилось на расстояние dl₂ а второе сечение — на расстояние dl₂. При этом можно условно считать, что часть ограниченного объема жидкости осталась на месте (объем между сечениями Г—1' и 2—2),; другая часть между сечениями 1—1 и Г—Г (на рис. 2.4 затемнена переместилась на место между сечениями 2—2 и 2'—2' (на рис. 2.4 также затемнена), т.е. объемы затемненных участков равны:

δW₁=S₁dl₁= δW₂=S₂dl₂= δW.

Следовательно, равны и массы этих объемов (δm), а также оди­наковы их веса (δG).

Для вывода уравнения Бернулли применим к жидкому телу между сечениями 1—1 и 2— 2 теорему механики об изменении кинетической энергии, согласно которой изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к телу.

Как следует из сказанного ранее, кинетическая энергия участ­ка жидкости между сечениями 1—1' и 2—2 за время dt не изменилась, так как этот участок условно можно считать неподвижным. Тогда изменение кинетической энергии всего жидкого тела будет определяться разностью кинетических энергий выделенных объемов (участков, затемненных на рис. 3.4), а точнее, изменением и: скоростей, так как их массы одинаковы, т.е.

Работу за отмеченный промежуток времени совершают силы тяжести и силы давления. При оценке работы сил тяжести также Пудем учитывать условную неподвижность участка жидкости меж­ду сечениями 1’—1’ и 2—2. Тогда работа сил тяжести L_G опреде­лится перемещением веса δG на расстояние (z, - z₂):

Работа сил давления L_p будет складываться из двух величин: работы положительной силы и работы отрицательной силы. Первая, равная произведению давления p₁ на площадь S_u способствует сдвигу сечения 1—1 на расстояние dl_u а вторая, равная произведению давления р₂ на площадь S₂, препятствует перемещению сечения 2—2 на расстояние dl₂, т.е.

L_p = p_xS\dl_x - p₂S₂dl₂ = - p₂bW₂ = bW{pi - p₂).

Приравняв сумму работ сил тяжести L_c и давления L_p к измерению кинетической энергии тела Е_к, получим

G(z1-z2)+ W(p1-p2)= ( - ) (3.4)

Разделим каждый член уравнения (3.4) на вес G. Тогда полу­чим

(z1-z2)+ (p1-p2)= ( - ) (3.5)

В последнее математическое выражение входят объем W, масса δт и вес δG одного и того же количества жидкости, которые связаны между собой (5G = SWpg = 8mg). После математических преобразований окончательно получим уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости:

(3.6)

Каждый член уравнения (3.6) представляет собой определенный вид удельной энергии (энергии, отнесенной к единице веса жид­кости и измеряется в линейных единицах (в СИ это метры).

Величины _Z1 и z.2 являются удельными энергиями положения жидкости в сечениях. Их еще называют нивелирными высотами.

Отношения и представляют собой удельные энергии

давления (сжатия) жидкости в сечениях и называются еще пьезометрическими высотами.

Суммы величин Z1+ и являются удельными потенциальными энергиями жидкости в сечениях и называются также и гидравлике гидростатическими напорами.

Последние слагаемые в обеих частях уравнения Бернулли (3.6)

и представляют собой удельные кинетические энергии

жидкости в сечениях и называются еще скоростными напорами.

Наконец, суммы являются полными удельными энергиями в каждом сечении струйки жидкости. В гидравлике их принято называть полными напорами и обозначать символом

После рассмотрения энергетического смысла каждого слагаемого зависимости (3.6) можно сформулировать энергетический смысл всего уравнения Бернулли так: в потоке идеальной жидкости ее полная удельная энергия в сечении есть величина постоянная.

Таким образом, полученное уравнение Бернулли является законом сохранения энергии для струйки идеальной жидкости.

Поиск по сайту: