Теоретические сведения. Цель работы– освоить навыки приближенного нахождения корней алгебраических трансцендентных уравненийметодом итераций в среде Excel

Лабораторная работа № 12-1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ В СРЕДЕ EXCEL

Цель работы – освоить навыки приближенного нахождения корней алгебраических трансцендентных уравненийметодом итераций в среде Excel.

Постановка задачи:

1. Используя метод итераций, вычислить с заданной точностью () действительные корни заданного алгебраического уравнения .

Теоретические сведения

Пусть дано уравнение

, (1)

где - непрерывная функция.

Требуется вычислить действительный корень уравнения, находящийся на отрезке .

Приводим заданное уравнение к виду

, (2)

где - некоторая непрерывная на отрезке функция.

Выбираем произвольное и подставляем его в правую часть равенства (2):

.

Аналогично получаем

;

;

…

.

Доказано, что если последовательность сходится, то её пределом является корень уравнения (2), а значит, и корень уравнения (1), так как уравнения (1) и (2) равносильны.

Для сходимости итерационного процесса исходное уравнение достаточно привести к виду так, чтобы выполнялось условие

(3)

при .

Это достигается различными способами. Например, уравнение заменяем равносильным . В этом случае . Параметр выбираем так, чтобы при . Уравнение можно преобразовать к виду разными способами, лишь бы функция удовлетворяла условию (3).

Пример 1. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций. Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке , так как , .

Приводим исходное уравнение к виду

. (4)

В этом случае . Тогда , при .

Таким образом, достаточное условие сходимости итерационного процесса выполняется.

Метод итераций применим для решения уравнения (4). Выбираем произвольное , например, . Тогда

.

Аналогично определяются последующие приближения.

Пример 2. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций.

Единственный корень заданного уравнения находится на отрезке . Рассмотренный в примере 1 способ в данном случае неприменим, так как при этом не удовлетворяется достаточное условие сходимости итерационного процесса. Заменяем исходное уравнение равносильным:

.

В этом случае

; .

Параметр находим из условия при , т.е. или при . Отсюда .

Полагаем, например, . Исходное уравнение преобразуем к виду

, (5)

причем при .

Методом итерации можно решать уравнение (5).

Выбираем произвольное . Пусть . Используя уравнение (5), вычисляем . Подставляя в правую часть равенства (5), получаем и т.д. Вычисления производим до тех пор, пока выполнится неравенство .

Типовый вариант

Вычислить корни уравнения методом итераций

с точностью e =10^-5 на предварительно найденном интервале изоляции [a, b].

Реализация типового варианта

1. Запустите на выполнение среду программирования Microsoft Excel. По умолчанию создается новый документ. Сохраните документ на рабочий диск под уникальным именем:

2. Введите необходимую текстовую информацию для идентификации работы:

3. Внесите информацию о постановке задачи:

4. Для определения интервалов изоляции корней уравнения построим таблицу значений функции . Выделите интервалы аргумента, на которых функция меняет знак – это интервалы изоляции корней уравнения. Выберите один из интервалов для нахождения корня методом итерации:

5. Введите справочную информацию о методе:

6. Подберите значение l, которое обеспечит устойчивое схождение итерационного процесса к корню:

7. Постройте заголовок таблицы нахождения корня. Внесите начальное значение номера итерации и формулу для остальных номеров:

8. Внесите начальное значение x – середину интервала изоляции:

9. Вычислите правую часть итерационного уравнения :

10. Введите формулу нового значения :

11. Введите формулу условия прекращения итераций :

12. Распространите формулы на нижнюю часть таблицы:

13. Расчеты можно проводить до строки, в которой условие в столбце D выполнится. Выведите окончательное значение корня уравнения:

14. Сравните результаты, полученные в других средах программирования.

Варианты исходных данных

Поиск по сайту: