Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2. Для получения записи числа в двоичной системе используется представление этого числа с помощью степеней числа 2.

Рассмотрим на примерах, как представляются числа с помощью степеней числа 2. Предварительно приведем таблицу значений степеней числа 2.

Используя эту таблицу, можно записать:

В общем виде представление целого неотрицательного числа с помощью степеней двойки записывается так же, как и представление (1) с заменой числа 10 на число 2:

Здесь каждый из коэффициентов а_n, a_n-1 , ···, a₁, a ₀ является одной из двух двоичных цифр 0 или 1, причем a_n =1. Запись числа в двоичной системе строится так же, как и в десятичной: первой записывается цифра а_п, второй — цифра а_п-1 и т.д.,

последней — цифра а₀.

Двоичный код числа — запись этого числа в двоичной системе счисления.

Таким образом, двоичным кодом числа является последовательность коэффициентов а_п a_n-1 ··· a₁ a₀ из представления (2). В приведенных примерах двоичные коды имели вид:

Коэффициенты в представлении (2) должны принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Это обеспечивает однозначность такого представления.

Если какой-либо из коэффициентов больше 1, то происходит переход к следующей степени числа 2.

Например:

2·2ⁿ=1·2ⁿ⁺¹; 3·2ⁿ=(2+1) ·2ⁿ=1·2ⁿ⁺¹+1·2ⁿ.

Старший коэффициент а_n всегда равен 1, т.е. двоичный код всегда начинается с 1 (так же, как и десятичная, запись числа не может начинаться с нуля). Чтобы лучше понимать, как получается двоичный код некоторого числа, представим себе последовательность разрядов, каждый из которых может содержать только одну из двоичных цифр 0 или 1, т.е. один бит информации. В дальнейшем под битом и разрядом будем понимать одно и то же.

Пронумеруем разряды справа налево. Номер самого правого (младшего) разряда равен нулю. Номер самого левого (старшего) разряда равен показателю наибольшей степени двойки, содержащейся в числе. Значит, всего разрядов, с учетом нулевого, на один больше, чем номер старшего разряда (если номер старшего разряда равен 7, то всего разрядов 8 с номерами от 0 до 7). Номер каждого разряда равен показателю соответствующей степени двойки.

Содержимое разряда с номером n равно 1, если 2ⁿ участвует в представлении числа в виде суммы степеней двойки, и 0, если не участвует.

Посмотрим, как получается двоичное представление, например, числа 25. Число 25 представляется в виде суммы чисел из этой строки: 25=16+8+1. Каждое число берется только один раз — это обеспечивает однозначность двоичного кода. Затем выбранные числа заменяются равными им степенями двойки из верхней строчки таблицы: 16=2⁴, 8=2³, 1=2⁰; 25=2⁴+2³+2⁰. И, наконец, разряды, номера которых равны числам, выбранным из первой строчки таблицы (4,3,0) заполняются единицами, а остальные — нулями.

25=16+8+1=24+23+20=

=1·24+1·23+0·22+0·21+1·20

4. Сколько чисел можно записать с помощью n битов

Уже описано, как получать двоичный код любого десятичного числа, т.е. переводить его из десятичной системы в двоичную. Рассмотрим теперь обратное действие: перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Итак, требуется найти десятичное число по известному двоичному коду этого числа. Воспользуемся представлением вида (2). Коэффициенты а_n, a_n-l , ··· ,a₁, a₀ известны. Значит, нужно вычислить значение выражения (2). Рассмотрим примеры. Пусть задан двоичный код 1101₂. Самый левый — старший бит — имеет номер 3. Следовательно, первое слагаемое равно 1·2³. Следующий бит имеет

номер 2. Второе слагаемое равно 1·2². Третье слагаемое равно 0·2¹ четвертое слагаемое равно 1·2⁰. Искомое число есть сумма четырех слагаемых: 1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰=8+4+1=13. Таким образом, 1101₂=13.

Пусть задан двоичный код 1101011₂. Число, имеющее такой двоичный код, равно сумме 1·2⁶+1·2⁵+0·2⁴+1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰=64+32+8+2+1=107.

Следовательно, 1101011₂=107.

В десятичной системе следующее число получается из предыдущего путем прибавления единицы к количеству единиц предыдущего числа.

То же самое происходит при получении двоичного кода следующего числа из двоичного кода предыдущего: к младшему разряду двоичного кода предыдущего числа прибавляется единица.

Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, происходит перенос единицы в следующий слева разряд. Таким образом, правила сложения в двоичной системе таковы:

Пользуясь этими правилами, получаем

Возникает вопрос: какое наибольшее десятичное число можно записать в двоичном виде, используя для этой записи заданное число битов?

Наибольшее десятичное число, использующее для записи своего двоичного кода три бита, получается, когда значения всех трех битов равны единице:

А если для записи десятичного числа в двоичном виде используется четыре бита? Наибольшее число, двоичный код которого состоит из четырех битов, равно 15: в его двоичном коде все четыре бита, равны единице: 15 = 1111₂. Снова заметим, что 15=16-1=2⁴-1; для записи следующего за 15 числа 16 нужно уже пять битов. Так что используя четыре бита, можно записывать числа от 0 до 15 (всего 16 = 2⁴ чисел). Уже понятно, что наибольшее число, использующее для своей двоичной записи а битов, равно 2ⁿ -1. Следующее за ним число 2ⁿ требует для своей записи n +1 бит. Таким образом, используя п битов, можно записывать двоичные коды чисел от 0 до 2ⁿ -1, всего 2ⁿ чисел.

Поиск по сайту: