Давление жидкости на плоскую стенку. Центр Давления

Выведем формулу для определения силы суммарного гидростатиче­ского давления Р, действующего на плоскую стенку произвольного очер­тания, расположенную под поверхностью жидкости под произвольным уг­лом а к горизонту (рис. 2.8). Выделим на рассматриваемой стенке элемен­тарную площадку dω.

Силу давления на элементарную площадку dω, расположенную на глубине h, можно записать в виде

dP = pdω- (ро + 𝜌gh)dω= pq dω + 𝜌ghdω).

Здесь pq — давление на поверхности жидкости.

Если l - координата в плоскости стенки, то h = l sin а. Тогда

dP = pо dω + 𝜌gl sin a dω. (2.12)

Интеграл _ω∫ ldω = S является статическим моментом площади стенки ω относительно оси х, которая представляет собой линию пересечения на­клонной плоскости стенки с поверхностью жидкости. Этот момент можно представить как где lс - координата центра тяжести.

Тогда, учитывая, что где h_c - глубина погружения центра тяжести площадки, получим

(2.13) или

Здесь рс - давление в центре тяжести стенки.

Таким образом, полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление рс в центре тяжести этой площадки.

Внешнее давление ро передается всем точкам площадки со одинако­во, поэтому его равнодействующая будет приложена в центре тяжести площадки. А давление от веса жидкости распределится по площадке не­равномерно.

Точка приложения равнодействующей сил гидростатического давле­ния называется центром давления.

Найдем координату центра давления на площадке ω. Будем считать для простоты, что на стенку действуют только силы избыточного давления, т. е. p ₀= 0.

Обозначим центр давления буквой D. Тогда его координата по стенке будет l_D. Вспомним теорему механики о том, что момент равнодействующей силы (в нашем случае – гидростатического давления) относительно оси (возьмем ось Оx) равен сумме моментов составляющих сил, т. е. .

Из формулы (2.12) определим величину dP и, с учетом того, что p ₀= 0, получим

,

где J_x – момент инерции площадки ω относительно оси x.

Отсюда .

Подставим в эту формулу значение P из выражения (2.13) и, учитывая, что p ₀ = 0, получим:

.

Выразим момент инерции относительно оси x – J_x – через момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести площадки ω и параллельной оси x – J_C:

.

Тогда окончательно имеем:

.

(2.14)

Из этой формулы видно, что l_D всегда будет больше l_C, т. е. центр давления лежит глубже, чем центр тяжести площадки ω. Величина имеет размер длины и называется эксцентриситетом давления. Эксцентриситет давления уменьшается с увеличением глубины погружения площадки.

Если площадь ω имеет ось симметрии, перпендикулярную оси x, то формула (2.14) полностью определяет положение центра давления. В случае несимметричной фигуры нужно отыскать вторую координату центра давления в направлении, параллельном оси x. Построим ось y, перпендикулярную оси x, и проведем все расчеты и рассуждения, аналогичные вышеприведенным, относительно этой оси. Получим:

. Здесь – центробежный момент инерции площадки ω относительно осей x и y. Следует иметь в виду, что центробежный момент инерции может быть и положительным, и отрицательным, в зависимости от расположения оси y.

В предыдущих рассуждениях принято, что давление на поверхности жидкости p ₀ равно нулю. Если оно отлично от нуля, то учесть его можно так: точкой приложения силы внешнего давления на площадку будет центр тяжести этой площадки; точкой приложения избыточного давления является центр давления. Зная две этих силы и точки их приложения, можно найти общий центр давления на площадку, при этом полная сила давления на площадь ω будет равна сумме внешнего и избыточного давлений

8. Давление на цилиндрические поверхности.

В общем случае какой угодно криволинейной поверхности, расположенной внутри жидкости, действие сил гидростатического давления на такую поверхность приводится к равнодействующей и моменту пары сил. В частном случае наиболее распространенных в технике цилиндрической и сферической поверхностей сила давления сводится (в силу симметрии) к одной равнодействующей силе. Определим эту силу для цилиндрической поверхности, расположенной в толще жидкости (рис. 2.9).

Выделим на рассматриваемой цилиндрической поверхности малый элемент площади dω, кривизной которого можно пренебречь.

Тогда для случая плоской стенки формула нами уже выведена:

.

Разложим эту силу на вертикальную и горизонтальную составляющие:

Из рис.2.9 видно, что проекции элементарной площадки на соответствующие оси координат выразятся следующим образом:

Рис. 2.9

Следовательно,

Горизонтальная составляющая

(2.15)

Второе слагаемое в формуле (2.15) – это статический момент площади ω_y относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Представим его в виде:

где h_C – глубина погружения центра тяжести площадки ω_y. Тогда

Вертикальная составляющая

(2.16)

Здесь ω_x – проекция цилиндрической поверхности АВ на горизонтальную плоскость. Подынтегральное произведение во втором слагаемом формулы (2.16) представляет собой элементарный объем, заштрихованный на рис. 2.9, а значение интеграла равно всему объему жидкости W, находящемуся над поверхностью АВ (на рисунке он показан крупной штриховкой). Жидкость, находящаяся в объеме W, называется телом давления. Таким образом,

Полная сила P гидростатического давления на цилиндрическую поверхность определяется составляющими P_x и P_y, складываемыми по правилу параллелограмма:

Направление силы P определится углом β:

Для цилиндрической поверхности сила P всегда проходит через центр кривизны (ось цилиндра), так как все элементарные составляющие перпендикулярны поверхности стенки и проходят через ее центр тяжести.

При практическом определении вертикальной составляющей силы гидростатического давления существует правило, по которому находится объем тела давления. Объем тела давления ограничен самой цилиндрической поверхностью, двумя вертикальными плоскостями, проходящими через концы цилиндрической поверхности до свободной поверхности жидкости (в случае нахождения жидкости внутри цилиндра, рис. 2.10. а) или до ее продолжения (в случае нахождения жидкости вне цилиндра, рис. 2.10. б).

Рис. 2.10

Из рис. 2.10 видно, что в первом случае объем тела давления находится внутри жидкости (действительное тело давления), а во втором – вне ее (фиктивное тело давления). Направления вертикальных составляющих оказываются противоположными, а величина их равна весу жидкости, находящейся в теле давления.

Поиск по сайту: