Основное уравнение равномерного движения. Пьезометрический и гидравлический уклон

Рис. 4.3

Среднюю скорость вычислим по формуле :

(4.6)

Сравнивая с _maxиз (4.3), видим, что _ср = 0,5 _max.

При переходе ламинарного течения в турбулентное характер распределения скоростей по сечению трубы изменяется. Если при ламинарном течении распределение скорости по сечению имеет параболический характер, то при турбулентном течении эпюра скоростей из-за перемешивания потока выравнивается, приближаясь к прямоугольной. Так как при турбулентных течениях скорость в каждой точке потока непрерывно пульсирует по величине и направлению (в определенных пределах), то для построения эпюр скоростей и при технических расчетах используются осредненные по времени значения скоростей.

Заметим еще, что при переходе от ламинарного к турбулентному течению не весь поток полностью турбулизируется: около стенок остается тонкий – так называемый пограничный – слой, в котором течение остается ламинарным.

Таким образом, получается, что при турбулентном движении _ср = (0,8 ÷ 0,9) _max.

Определим связь средней скорости движения жидкости при ламинарном и турбулентном режимах течения в трубопроводе с потерей напора.

Учитывая, что , для ламинарного режима из формулы (4.6) получим

Из этой формулы видно, что потери напора при ламинарном течении пропорциональны первой степени скорости.

При турбулентном же течении потери напора пропорциональны скорости в степени m, меняющейся от 1,75 до 2,00. Таким образом, общий характер зависимости потерь напора от скорости можно выразить так:

· при ламинарном режиме

· при турбулентном режиме

где k ₁и k ₂ – соответствующие коэффициенты пропорциональности.

Отметим, что общий случай движения вязкой жидкости описывается дифференциальными уравнениями Навье–Стокса

Оператор Лапласа предполагает следующую операцию над своим переменным аргументом

.

Уравнения Навье–Стокса отличаются от уравнений Эйлера для идеальной жидкости наличием членов с вязкостью . В уравнениях Навье–Стокса четыре неизвестных – три проекции скорости и давление. Привлекая уравнение неразрывности в дифференциальной форме, получаем замкнутую систему для нахождения неизвестных. Но общего решения эти уравнения не имеют, их можно решить лишь для некоторых частных случаев. Например, формула (4.2) и есть частное решение для установившегося ламинарного течения вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе.

20. Элементы теории турбулентности. Мгновенные и осредненные скорости. Формула Лоренца для касательных напряжений при турбулентном движении. Логарифмический закон распределения скоростей по сечению,

Турбулентное движение характеризуется непрерывным перемешиванием частиц жидкости. Частицы, движущиеся преимущественно в продольном направлении по потоку, имеют и поперечные перемещения, траектории их движения чрезвычайно сложны.

Турбулентное движение по существу является неустановившимся, так как скорости в любой точке потока непрерывно и постоянно изменяются во времени, т. е. пульсируют по величине и направлению относительно среднего значения (рис. 4.4).

Такие пульсации скорости и являются самым характерным свойством турбулентного течения. У стенок, ограничивающих поток, пульсации затухают, так как поперечные перемещения частиц затруднены. Частицы движутся по извилистым траекториям почти параллельно стенкам, либо течение переходит в ламинарный режим.

Скорость жидкой частицы в данной точке в данный момент времени называют мгновенной. При изучении турбулентного потока пользуются понятием осредненной скорости. Осредненная скорость – это средняя скорость в данной точке, взятая за период времени, существенно больший периодов пульсаций, но меньший характерных времен изменения параметров потока: ,

где T – период осреднения; u – мгновенная скорость в точке.

Отклонение мгновенной скорости от ее осредненного значения называется пульсацией скорости – (рис. 4.4).

Как отмечено выше, при вполне развитом турбулентном течении _ср = (0,8 ÷ 0,9) _max. Эпюра скорости при турбулентном течении в трубе приведена на рис. 4.5.

Формула для потери напора при развитом турбулентном режиме течения имеет вид , где m следует принять равным 2. Тогда .

Поскольку потери напора при движении жидкости обусловлены внутренним трением, то и характер поведения касательных напряжений в потоке будет таким же, т. е. пропорциональным квадрату скорости: ,

где ψ – коэффициент пропорциональности.

Используя основное уравнение движения жидкости (3.12), можно записать

,Откуда

Определяем отсюда скорость

Введем новый коэффициент C, обозначив . Тогда окончательно получим:

.

(4.7)

Это – формула Шези для средней скорости равномерного турбулентного течения жидкости. Она была выведена еще в XVIII веке.

Коэффициент C имеет размерность .

Изначально считали, что коэффициент C – величина постоянная или меняющаяся в небольших пределах – примерно 40 – 50. Однако выяснилось, что коэффициент C меняется в значительных пределах и зависит от формы и размеров поперечного сечения потока и от шероховатости стенок.

Было предложено много формул для определения C, главным образом – эмпирических, т. е. базирующихся на экспериментальном материале.

Широко применяется, и хорошие результаты дает формула Н.Н.Павловского

.

(4.8)

Здесь n – коэффициент шероховатости, который берется по специальной шкале, y – показатель степени, зависящий от n и от R и колеблющийся от до .

Для формулы (4.8) составлены таблицы, дающие значение y или сразу C в зависимости от R и n.

В частности, положив в формуле (4.8) , получим формулу Маннинга:

.

(4.9)

Эта формула широко применяется при расчетах открытых потоков.

Удовлетворительные результаты дает формула А. А. Сабанеева

Здесь n берется по той же шкале шероховатости.

21. Формула Шези.

Формула для потери напора при развитом турбулентном режиме течения имеет вид , где m следует принять равным 2. Тогда

.

Поскольку потери напора при движении жидкости обусловлены внутренним трением, то и характер поведения касательных напряжений в потоке будет таким же, т. е. пропорциональным квадрату скорости:

,

где ψ – коэффициент пропорциональности.

Используя основное уравнение движения жидкости (3.12), можно записать

,

откуда

Определяем отсюда скорость

Введем новый коэффициент C, обозначив . Тогда окончательно получим:

.

(4.7)

Это – формула Шези для средней скорости равномерного турбулентного течения жидкости. Она была выведена еще в XVIII веке.

Коэффициент C имеет размерность .

Изначально считали, что коэффициент C – величина постоянная или меняющаяся в небольших пределах – примерно 40 – 50. Однако выяснилось, что коэффициент C меняется в значительных пределах и зависит от формы и размеров поперечного сечения потока и от шероховатости стенок.

Было предложено много формул для определения C, главным образом – эмпирических, т. е. базирующихся на экспериментальном материале.

26. Истечение при переменном напоре.

Рассмотрим опорожнение открытого в атмосферу сосуда произвольной формы через донное отверстие или насадок с коэффициентом расхода µ (рис. 7.9).

Рис. 7.9

В этом случае истечение будет проходить при переменном, постепенно уменьшающемся напоре. Если напор, а следовательно, и скорость истечения, будут меняться медленно, то движение в каждый момент времени можно рассматривать как установившееся (квазистационарное) и применять для решения уравнение Бернулли.

Обозначим переменную площадь свободной поверхности жидкости S, переменную высоту уровня жидкости, отсчитываемую от дна, – h, площадь отверстия в дне – ω ₀. Тогда для бесконечно малого промежутка времени dt справедливо уравнение сохранения объемов

или .

Знак «минус» в формуле возникает потому, что положительному приращению dt соответствует отрицательное приращение dh.

Время полного опорожнения сосуда высотой H найдем, интегрируя это уравнение по переменной высоте уровня в пределах высоты всего сосуда (считаем µ = const):

.

Этот интеграл можно сосчитать, если известен закон изменения площади свободной поверхности S по высоте резервуара. В частности, для призматического сосуда S = const и получаем

.

(7.5)

Числитель этой формулы равен удвоенному объему сосуда, а знаменатель представляет собой расход в начальный момент времени при опорожнении, т. е. при напоре, равном H. Следовательно, время опорожнения сосуда в два раза больше времени истечения такого же объема жидкости при постоянном напоре H.

23. Общая формула для гидравлического расчета трубопроводов.

Принципиальный подход к расчету коротких трубопроводов тот же, что и к расчету длинных: необходимо составить уравнение Бернулли для сечения, проведенного через питающий водоем, и конечного сечения трубопровода.

.

При этом, конечно, необходимо учитывать особенности, отличающие баланс энергии в коротких трубопроводах от баланса энергии в длинных трубах. Наиболее важное отличие состоит в том, что существенное место в балансе энергии коротких трубопроводов составляют потери энергии на местных сопротивлениях. Кроме того, при расчетах коротких трубопроводов, как правило, нельзя пренебрегать кинетической энергией потока в выходном сечении трубы. Если жидкость вытекает из трубы в атмосферу, то кинетическая энергия учитывается в балансе энергии как скоростной напор, если жидкость вытекает из трубы под уровень жидкости в водоеме, то кинетическая энергия в выходном сечении «теряется» и входит в сумму местных потерь.

Короткий трубопровод может иметь участки с разными диаметрами, и полная величина потерь энергии по длине представляет в этом случае сумму потерь на отдельных участках.

Рассмотрим трубопровод без разветвлений, состоящий из n участков различного диаметра, на каждом из которых имеется некоторое количество местных сопротивлений. Для определения потерь напора, как по длине, так и местных, используем формулу Вейсбаха (5.1). При этом следует помнить, что потери на трение по длине и потери на местных сопротивлениях рассчитываются по скоростям движения жидкости на тех участках трубопровода, на которых эти сопротивления возникают. Тогда, суммируя потери напора на рассматриваемом трубопроводе, запишем

.

(6.11)

где n – число участков трубопровода;

m_i – количество местных сопротивлений на i -ом участке трубопровода;

и – соответствующие коэффициенты сопротивления.

Обратим внимание на то обстоятельство, что при отсутствии утечек и отбора жидкости из трубопровода, а именно такой случай и рассматривается, расход жидкости на всех участках будет одинаковым, т. е.

.

С другой стороны

,

.

Для проведения расчетов удобно с использованием этой формулы выразить скорости на участках трубопровода через скорость на каком-то одном участке. Обычно все скорости выражаются через скорость на последнем (выходном) участке. Такой участок называют «приведенным». Скорость на любом участке трубопровода можно выразить через скорость и площадь на приведенном участке: .

Тогда можно записать

.

(6.12)

Подставляем выражение (6.12) в формулу (6.10):

.

Отсюда

Обозначим

Коэффициент называется приведенным коэффициентом расхода, отнесенным к некоторому (в нашем случае – к выходному) участку трубопровода. Тогда окончательно получаем

.

(6.13)

С помощью этой формулы можно решить любую из трех основных типов задач гидравлического расчета трубопровода.

В качестве примера рассмотрим трубопровод, состоящий из двух участков труб, диаметром d ₁ и d ₂ и соответствующих длин l ₁ и l ₂. На конце второго участка установлен короткий конический насадок, имеющий выходное отверстие диаметром d ₃. Трубопровод подключен к резервуару, в котором поддерживается постоянный уровень жидкости (рис. 6.3).

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений:

· сечение 0–0, проходящее по поверхности уровня в резервуаре;

· выходное сечение насадка 3 – 3.

Так как уровень жидкости в резервуаре постоянен (H = const), то , кроме того, резервуар открыт, т. е. p ₀ = p _атм, истечение происходит в атмосферу, значит, p ₃ = p _атм.

Тогда

Если в качестве плоскости сравнения взять ось трубопровода, то z ₀ = H, z ₃ = 0. В итоге получаем

(6.14)

Рис. 6.3

Оценим потери напора. Они будут складываться из потерь напора на трение на первом и втором участках и потерь на местных сопротивлениях. Местными сопротивлениями в нашем примере будут

• вход в трубу из резервуара,
• внезапное сужение трубопровода на стыке первого и второго участков,
• конический насадок.

Их коэффициенты сопротивления обозначим соответственно , , .

Перепишем уравнение (6.14), раскрывая h _пот:

Так как расход жидкости постоянен, то

.

Выразим скорости на участках трубопровода через скорость на выходе :

Тогда

Выражение в квадратных скобках (помимо коэффициента α ₃) можно рассматривать как суммарный коэффициент сопротивления трубопровода, приведенный к выходному сечению 3 – 3. Он называется приведенным коэффициентом сопротивления .

Итак, получаем

Отсюда выражаем скорость

и, следовательно, расход

Выражение обозначается через , это и есть приведенный коэффициент расхода. Тогда, окончательно имеем:

(6.15)

24. Истечение при постоянном напоре из малого круглого отверстия в тонкой стенке.

В современной гидравлической аппаратуре имеется большое количество форсунок, жиклеров, дросселей и других элементов, работающих по типу отверстий в тонкой или толстой стенках. Поэтому для расчетов режимов работы элементов гидроаппаратуры необходимо изучение закономерностей таких течений.

Рис. 7.1

Рассмотрим несколько случаев истечения жидкости из резервуаров через отверстия или насадки (короткие трубки разной формы) в атмосферу или в пространство, заполненное той же жидкостью. В этих случаях в процессе истечения запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость в резервуаре, превращается (с определенными потерями) в кинетическую энергию струи или капель. Основной вопрос при рассмотрении таких случаев истечения – определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадок.

Рассмотрим большой резервуар с жидкостью (рис. 7.1), свободная поверхность которой находится при атмосферном давлении p _атм. На глубине H от поверхности жидкости в стенке резервуара устроено малое круглое отверстие диаметром d ₀. Отверстие можно считать малым, если его диаметр значительно (в несколько раз) меньше напора H. В случае, когда толщина стенки меньше диаметра отверстия, стенка считается тонкой.

Рис. 7.2

Частицы жидкости внутри резервуара приближаются к отверстию из всего прилегающего объема, двигаясь ускоренно. У кромки отверстия струя отрывается от стенки и несколько сжимается (рис. 7.2). Сжатие происходит потому, что движение плавно переходит от разнонаправленного (в резервуаре) к осевому (в истекающей струе). Цилиндрическую форму струя принимает на расстоянии 0,5 – 0,7 d ₀ от стенки, в дальнейшем сжатия не происходит.

Степень сжатия характеризуется коэффициентом сжатия ε, равным отношению площади сжатой струи к площади отверстия.

.

Если отверстие малое, то, как показывают исследования, коэффициент сжатия не зависит от напора перед отверстием и его размера.

Для определения необходимых нам величин – расхода и скорости в струе – запишем уравнение Бернулли для движения жидкости, выбрав в качестве одного сечения 0 – 0 плоскость свободной поверхности резервуара, а в качестве другого сечения 1 – 1 – сжатое сечение струи:

.

Так как площадь свободной поверхности резервуара много больше площади отверстия, то можно считать, что уровень свободной поверхности не снижается и , т. е. истечение происходит при постоянном напоре H. Давление на свободной поверхности резервуара и на поверхности сжатой струи равно атмосферному:

.

В качестве плоскости сравнения выберем ось струи, тогда

z ₀ = H, z _сж = 0.

Потери напора определятся как: ,

здесь – коэффициент сопротивления отверстия.

Учитывая все это, получим

,

откуда .

Тогда скорость _сж .

Введем обозначение:

.

(7.1)

Параметр φ называется коэффициентом скорости.

Получаем

.

(7.2)

Найдем расход жидкости через отверстие:

.

Используя определение коэффициента сжатия, получаем

.

Величина – это и есть коэффициент расхода. Тогда

.

(7.3)

Оценим численные значения коэффициентов, входящих в эти выражения.

Для развитого турбулентного течения в струе профиль скоростей в сжатом сечении близок к прямоугольному и = 1. Тогда

.

Коэффициент сопротивления отверстия можно принять равным , а коэффициент сжатия струи – ε = 0,64. Отсюда получим φ = 0,96 и µ = 0,62.

Заметим, что при истечении без сжатия струи µ = φ.

Выражения (7.2) и (7.3) и служат для решения основной задачи расчета – определения скорости и расхода при истечении жидкости через малое круглое отверстие в тонкой стенке.

Обратим внимание на следующие особенности смысла коэффициен-тов скорости φ и расхода µ.

В случае истечения из отверстия идеальной жидкости трение и завихрения отсутствуют, поэтому , а = 1, следовательно, из (7.1) получаем φ = 1, и скорость истечения идеальной жидкости по (7.2) будет

.

Тогда при течении реальных жидкостей из формулы (7.2) получим

,

т. е. коэффициент скорости есть отношение реальной скорости истечения к скорости идеальной жидкости. Действительная скорость истечения всегда несколько меньше идеальной из-за сопротивления, значит, коэффициент скорости всегда меньше единицы.

Из формулы (7.3) получаем для коэффициента расхода выражение

.

Заметим, что – это скорость истечения идеальной жидкости, а произведение ее на площадь отверстия ω ₀ дает расход жидкости, который был бы, если бы отверстие не имело сопротивления, и не было бы сжатия. На самом деле сжатие будет даже и у идеальной жидкости. Но тем не менее получаем, что коэффициент расхода есть отношение реального расхода к некому теоретическому идеализированному расходу при течении без сжатия и без сопротивления.

.

Действительный расход также всегда меньше теоретического и, следовательно, коэффициент расхода всегда меньше единицы вследствие влияния двух факторов – сжатия струи и наличия сопротивления.

Все безразмерные коэффициенты, введенные в рассмотрение:

· сжатия ε;

· сопротивления ;

· скорости φ;

· расхода µ

зависят от типа отверстия или насадка, от сил тяжести и поверхностного натяжения, а также от основного критерия гидродинамического подобия – числа Re. Для малого отверстия () влияние сил тяжести практически не проявляется. Заметное влияние сил поверхностного натяжения наблюдается только при малых напорах.

25. Истечение при постоянном напоре из большого прямоугольного отверстия.

Рассмотрим истечение через большое (широкое) прямоугольное отверстие (рис. 7.7).

Верхняя кромка отверстия расположена на глубине H ₁, а нижняя – на глубине H ₂ от свободной поверхности жидкости. Ширина отверстия – b.

Рис. 7.7

Элементарный расход через прямоугольный элемент площади можно записать как:

.

Для того чтобы найти расход через все отверстие, проинтегрируем выражение для элементарного расхода по h в пределах от H ₁ до H ₂,считая µ постоянным.

.

Это формула для расхода через прямоугольное отверстие. Но эта формула, как правило, не имеет самостоятельного значения. Она важна как исходная для получения формулы для прямоугольного водослива с тонкой стенкой. Такой водослив получается, если в рассмотренной схеме положим H ₁ = 0 (рис. 7.8).

Рис. 7.8

Обозначим . Назовем величину коэффициентом расхода для водослива. Тогда:

.

(7.4)

Значение m в первом приближении можно

отверстия, µ = 0,62. Тогда m ≈ 0,42.

В наших рассуждениях мы не учитывали скорость подхода воды к водосливу и высоту водослива С. С учетом этих величин можно уточнить формулу (7.4).

Условием нормального действия водослива является обеспечение свободного подвода воздуха под струю. Прямоугольный водослив часто используется как измеритель расхода; с этой же целью используются водосливы и иной формы, например, треугольные.

Поиск по сайту: