Дележи в кооперативных играх

Как только игроки в коалиции получили свой максимально гарантированный выигрыш, возникае задача о том, как его разделить между участниками.

Обычно распределение выигрыша задается вектором х с числом компонент, равным числу игроков в коалиции.

Пусть задана характеристическая функция v над множеством игроков I. Какие векторы дележей в этом случае допустимы?

Прежде всего, каждый игрок вступает в коалицию только в том случае, если это, по крайней мере, не уменьшает его выигрыш, то есть если

x_i ³ v(i) Эгалитарный подход

å x_i = v (I) Утилитарный подход

Приведенные условия носят названия индивидуальной и коллективной рациональности, так как позволяют получить максимальную выгоду и использовать возможности системы полностью.

Дележом в условиях характеристической функции v называется вектор х = (х₁, х₂,... х_n), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности.

Классической кооперативной игрой называется система < I, v >, включающая множество игроков I и характеристическую функцию v над этим множеством, а так же множество Х дележей в условиях этой характеристической функции.

Теорема. Для того, чтобы вектор х = (х₁, х₂,... х_n) был дележом в кооперативной игре < I, v >, необходимо и достаточно, чтобы

х_i = v (i) + a_i, a_i ³ 0, i Î I;

å a_i = v(I) - å v(i)

Нетрудно видеть, что компоненты вектора х удовлетворяют условию индивидуальной рациональности. Условие кооперативной рациональности

åx_i = å v (i) + v(I) - å v(i) = v(I) также выполняется.

a_i - это добавочный выигрыш игрока, получаемый за счет кооперации с другими участниками.

Важной отличительной чертой кооперативных игр является то, что для каждого игрока имеет значение не выигрыш коалиции в той или иной ситуации, а результат дележа, независящий от выбора стратегий. Поэтому этот класс игр называется нестратегическим.

В соответствии с приведенным определением можно построить бесконечное множество классических кооперативных игр. Для изучения их свойств игры делятся на непересекающиеся классы, внутри которых игры обладают одинаковыми или близкими свойствами.

Существующая классификация делит все кооперативные игры, прежде всего, на существенные и несущественные.

Несущественной игрой называется кооперативная игра, в которой характеристическая функция любой коалиции равна сумме характеристических функций любых подкоалиций.

v (КÈL) = v (К) + v (L), где K,LÎI, KÇL = Æ;

Существенными называются остальные игры.

Любая кооперативная игра с аддитивной (а не супераддитивной) характеристической функцией является несущественной, ее участники не заинтересованы в образовании коалиций, так как это не увеличивает их выигрыш (долю).

Признак аддитивности характеристической функции задается теоремой:

Теорема. Для того, чтобы характеристическая функция была аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство å v(i) = v(I).

Если в соответствии с этим признаком окажется, что рассматриваемая кооперативная игра несущественна, то характеристические функции легко можно найти по аддитивным формулам. Так же просто могут быть определены и дележи.

Теорема. В несущественной игре существует только один делёж

(v(1), v(2),... v(n)).

Во всякой существенной игре множество дележей бесконечно.

Это объясняется тем, что в существенной игре обязательно существует

D = v(I) - å v(i) > 0,

которая может быть разделена между игроками бесконечным большим числом способов.

Игроки так же делятся на существенных и несущественных (болванов), а множества игроков - на носителей игры и множества болванов.

Существенным называется игрок i, если существует такая коалиция К, что

v(K) + v(i) < v(KÈi).

Болваном называется игрок i, если для любой коалиции KÌI справедливо

v(K) + v(i) = v(KÈi).

Допустим, L - множество болванов (несущественных игроков) и LÌK, тогда

v(K) = v(K\ L) + å v(i), а если K = L, то v(K) = å v(i).

Существенные игроки образуют множество носителей игры, NÌI. Признаком этого для коалиции К является:

v(K) = v(KÇN) + å v(i) _i Î_K\N.

Поиск по сайту: