|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Аффинно-эквивалентные игры
Существенные и несущественные игры тоже делятся на классы. Кооперативная игра с множеством игроков I и характеристической функцией vназывается аффинно-эквивалентной игре с тем же множеством игроков и характеристической функцией v’, если найдутся такое положительное число k и произвольные вещественные ci (i Î I), что для любой коалиции KÌ L имеет место равенство: v’(K) = k v(K) + å ci, iÎK. При афинной эквивалентности v ~ v’ дележ x соответствует дележу х’ так, что: xi ’ = k xi + ci. Иногда вместо аффинной эквивалентности самих кооперативных игр удобно говорить об аффинной эквивалентности их характеристических функций. Введенное понятие эквивалентности кооперативных игр сходно с понятием стратегической эквивалентности бескоалиционных игр, но и имеет существенные отличия. Во-первых, в кооперативных играх не оговариваются стратегии для эквивалентных игр. Во-вторых, если в бескоалиционных играх в качестве функции выигрыша рассматривались платежи, то в кооперативных играх задаются характеристические функции, то есть максимально гарантированные выигрыши коалиции. Выделенные пары аффинно-эквивалентных игр на всем множестве кооперативных игр образуют бинарные отношения, которые обладают свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, что позволяет судить о них как о классах эквивалентности. Следовательно, для изучения свойств какой-либо кооперативной игры достаточно рассмотреть одну, наиболее простую из соответствующего класса. Рассмотрим с позиций стратегической эквивалентности несущественные игры. Нулевой называется характеристическая функция, тождественно равная нулю. Кооперативная игра с множеством игроков I называется нулевой, если все значения ее характеристической функции равны нулю. Теорема. Всякая существенная игра аффинно эквивалентна нулевой игре. Следствие. Все несущественные игры с одним и тем же множеством игроков аффинно эквивалентны друг другу. Таким образом, свойства любой несущественной игры можно изучать по эквивалентной ей нулевой игре. В нулевой игре все игроки безразличны к ее исходам, это случай полной не заинтересованности. Для изучения существенных игр наиболее удобна a-b редуцированная форма, то есть такая, в которой v(i) = a, v(I) = b. Обычно используются варианты a=0, b=1 и a=1, b=0. Теорема. Всякая существенная игра аффинно эквивалентна одно и только одной игре в 0-1 редуцированной форме. То есть любую существенную кооперативную игру можно свести к редуцированной форме и в этом виде производить ее исследование и изучение. От существенной кооперативной игры к ее редуцированной форме можно перейти следующим образом. Для произвольной коалиции К: v’(K) = (v(K) - å iÎK v(i))/ (v(I) - å iÎI v(i)) (3.1.) Нетрудно видеть, что 0-1 редуцированная форма существенной кооперативной игры позволяет по характеристической функции сразу же судить об эффективности объединения в коалицию (см.знаменатель), то есть в чистом виде рассматривать свойство супераддитивности. Все дележи в 0-1 редуцированной форме должны отвечать условиям: xi ³0, так как v(i) = 0, но есть еще D, так как игра существенная å xi = v(I) = 1. Пример. Дана кооперативная игра, I = {1,2,3,4}. Задана характеристическая функция: v(1) = -1; v(2) = v(3) = -2; v(1,2,4) = v(1,3,4) = 2; v(2,3,4) =1; v(4)= v(1,2)= v(1,3) = v(1,4) = v(2,3)= v(2,4) = v(3,4) = v(1,2,3) = v(1,2,3,4) = 0; Найти характеристическую функцию 0-1 редуцированной формы. Воспользуемся формулой 3.1. В знаменателе выражения стоит постоянная величина v(I) - å iÎI v(i) = 0 - (-1-2-2) = 5. Остальные вычисления занесем в таблицу:
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |