Ситуации равновесия (седловые точки)

В качестве цели при поиске решения антагонистической игры будем рассматривать ситуацию равновесия, то есть устойчивое и выгодное решение.

В матричных играх ситуация i*, j* называется приемлемой для первого игрока, если a _ij* £ a_i*j* и приемлемой для второго игрока, если a_i*j* £ a _i*j.

Таким образом, всякое отклонение от приемлемой ситуации уменьшает выигрыш первого игрока и увеличивает проигрыш второго.

Ситуация (i*, j*) называется равновесной, если она приемлема для обоих игроков. a _ij* £ a_i*j* £ a _i*j . Применительно к антагонистическим играм говорят о седловых точках на поверхности выигрыша (на них достигается max по первой координате и min по второй.

3.2.3. Свойства седловых точек:

1. Равноценность. Если в игре несколько седловых точек, то значения функции выигрыша в них одинаковы.

2. Взаимозаменяемость оптимальных стратегий. Игроки могут заменить свои оптимальные стратегии другими оптимальными стратегиями, при этом равновесие не нарушится, а выигрыш (проигрыш) останется неизменным.

Теорема. Аффинно-эквивалентные игры имеют одни и те же седловые точки (то есть их решения совпадают).

Седловые точки и минимаксы

Устойчивое решение игры может быть получено путем следующих рассуждений:

В самом неблагоприятном случае выигрыш первого игрока не может быть уменьшен по вине противника, если он удовлетворяет условию:

a _ij* = min а_ij

С другой стороны, руководствуясь принципом выгодности первый игрок будет стремиться увеличить свой выигрыш, сохраняя свойство устойчивости, поэтому v_н = max min а_ij

Это нижняя цена игры. Рассуждая подобным образом за второго игрока получим верхнюю цену игры:

v_в = min max а_ij

Интуитивно ясно, что значение (цена) игры лежит между v_н и v_в.

Теорема. Для того, чтобы в матричной игре существовали минимаксы, необходимо и достаточно, чтобы равны были минимаксы:

max min а_ij= min max а_ij

Оптимальные смешанные стратегии и их свойства.

Если матричная игра не имеет седловой точки (ситуации равновесия), то ее решение в чистых стратегиях становится непредсказуемым: каждому игроку можно только гарантировать, что его выигрыш при разумном поведении будет не менее нижней границы и не более верхней границы, цены игры.

Матричная игра без седловой точки приводит к неустойчивости использования стратегий при многократном повторении игры.

Смешанной стратегией игрока в матричной игре называется полный набор вероятностей x = (x₁, x₂... x_m) и y = (y₁, y₂... y_n) применения его чистых стратегий. (чистые стратегии - исходные).

Поиск по сайту: