С - ядро (core)

Наличие доминирующих и доминируемых дележей в кооперативной игре приводит к появлению коалиций, заинтересованных в тех или иных дележах. Следовательно, если найдется дележ, не доминируемый никаким другим дележом, то он, скорее всего, не вызовет возражений у игроков и не приведет к образованию коалиций с "собственными интересами".

Множество дележей в кооперативной игре, каждый из которых не доминируется какими - либо другими дележами, называется С-ядром этой игры.

Теорема. Для того, чтобы дележ х принадлежал С-ядру кооперативной игры с характеристической функцией v, необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции К выполнялось неравенство:

å _iÎK х_i ³ v(K), (т.е. все дележи в С-ядре абсолютно неэффективны).

Таким образом, не доминируются те дележи, в которых для любой коалиции сумма платежей больше, чем эта коалиция может гарантированно выиграть. Это означает, что любая коалиция должна согласиться на такой дележ, так как при этом игроки получают больше, чем могут выиграть самостоятельно (получить такой выигрыш "в одиночку" члены коалиции не могут).

Принадлежность дележа х к С-ядру означает только то, что дележ х не доминируется другими дележами, но это не значит, что он доминирует другие дележи. Из определения доминирования и теоремы следует, что дележ х, принадлежащий С-ядру, сам не может доминировать другие дележи ни по какой коалиции. Таким образом, множество дележей, образующий С-ядро, свойством внешней устойчивости не обладает.

Теорема. Во всякой существенной игре с постоянной суммой С-ядро пусто.

Качественно это можно объяснить так: если дележ входит в С-ядро, то любая коалиция должна получить больше, чем она может выиграть самостоятельно. Но поскольку сумма выигрышей постоянна, это можно сделать только за счет других коалиций, откуда обязательно возникнет отношение доминирования дележей (уже по другим причинам). Таким образом, любое ограничение доходов приведет к пустому С-ядру.

Пример. Рассмотрим общую кооперативную игру трех лиц в 0-1 редуцированной форме. Имеем: v(Æ) = v(1) = v(2) = v (3) = 0; v (1,2,3) = 1; v(1,2) = C₃; v (2,3) = C₁; V (1,3) = C₂; 0 £ C_i £ 1, i = 1:3.

Из определения свойств дележей, принадлежащих С-ядру, имеем:

x₁ + x₂ ³ C₃ ; x₁ + x₂ ³ C₃; x₁ + x₂ ³ C₃; а поскольку для любого дележа справедливо правило групповой рациональности, x₁ + x₂ + x₃ = 1, то условие принадлежности дележа к С-ядру имеет окончательный вид в форме:

1 - x₃ ³ C₃ ; 1 - x₂ ³ C₂; 1 - x₁ ³ C₁; или x₃ £ 1- C₃; x₂ £ 1- C₂; x₁ £ 1- C₁.

Сложим почленно все неравенства: x₁ + x₂ + x₃ £ 3 - (C₁ + C₂ + C₃). Имеем: C₁ + C₂ + C₃ £ 2. Это условие является необходимым для существования непустого С-ядра.

Поиск по сайту: