Доминирование дележей

Рассмотрим кооперативную игру Г = < I, v > и два дележа в этой игре: х = (х₁, х₂,... х_n) и y = (y₁, y₂,... y_n). Допустим, K Ì I - некоторая коалиция в игре.

Дележ х доминирует дележ у по коалиции К, если выполняются неравенства å _iÎK х_i £ v(К) и х_i > y_i, iÎ К. Доминирование дележа по коалиции К обозначается хñ_К у, х dom _К y, или x R_к y.

Первое неравенство определения утверждает, что коалиция К способна обеспечить такой дележ, так как сумма выигрышей, получаемых членами коалиции не превышает ее максимального гарантированного выигрыша V(K). Второе означает, что каждый член коалиции К получает по дележу х больше, чем по дележу у (именно в этом смысл доминирования). Иногда, определяя отношение доминирования, не указывают конкретно коалицию, а просто говорят, что дележ х доминирует дележ у (хñ у). Однако, при этом подразумевается, что существует коалиция К, по которой это доминирование имеет место, то есть справедливо хñ_К у.

Для коалиции К доминирующий дележ полезнее, чем доминируемый. Эта коалиция будет его отстаивать. Иной случай, когда с этим дележом не согласятся остальные игроки (входящие в множество I\K). Но коалиция К может сама обеспечить себе такой дележ, так как å _iÎK х_i £ v(К).

Следует отметить, что доминирование возможно по любой коалиции, кроме коалиции из одного игрока и из всех игроков. В первом случае К = {i} из определения следует, что х_i £ v(i), что противоречит свойству индивидуальной рациональности дележа х (х ³ v(i)).

В случае К = I из х_i > y_i следует, что åх_i > åy_i = v(I), то есть дележ х должен давать в сумме больше, чем гарантированный выигрыш для всех игроков.

Важно, что отношение доминирования дележей выполняется для аффинно эквивалентных кооперативных игр, то есть доминирование инвариантно относительно аффинной эквивалентности.

Теорема. Если v и v’ - аффинно-эквивалентные характеристические функции, причем дележам х и у в v соответствуют дележи x’ и y’ в v’, то из х ñ_К у следует х’ ñ_К у’.

Отношение доминирования выполняется для всех кооперативных аффинно эквивалентных игр и является свойством не одной игры, а всего класса эквивалентных игр. Поскольку, например, в несущественной игре всего один дележ, то для них понятие доминирования не имеет смысла. Существенные игры исследовать на доминирование можно используя 0-1 редуцированную форму.

Так как в кооперативной игре в качестве меры полезности выступает не выигрыш, а дележ, поэтому сравнение кооперативных игр сводится к сравнению векторов дележей. Множество дележей дает набор возможных решений, так как дележи отвечают условиям индивидуальной и коллективной рациональности. Но дележей много и они разные. Какой из них предпочесть? Это задача векторной оптимизации, а принцип оптимизации может быть самым разнообразным.

В достаточно общей модели принятия решения трудно сказать принимающему решение, какую альтернативу он должен выбрать или какая его стратегия является оптимальной. Главным в такой модели является прогноз действий партнеров, так как если он имеется, то остальное - сравнительно простая задача максимизации выгоды участника в условиях риска. Поэтому оптимальность в теории игр и понимается как ожидаемое, возможное. Оптимальными исходами называются исходы, возможные в условиях допустимых действий игроков и коалиций, совершаемых согласно их интересам.

Например, в игровой модели Шепли-Шубик, 1969 года (кооперация производства с обменом продуктами) или просто модели обменов, вопрос о том, как кооперировать, может быть заменен вопросом: какое понятие оптимальности следует применять для дележа прибыли?

Ответить на этот вопрос по заданной характеристической функции невозможно, поскольку ответ существенно зависит от дополнительных свойств модели. Например, правила дележа будут различными в зависимости от того, является ли правило объектом переговоров между участниками кооперации или оно издается правительством в качестве закона и поэтому должно соблюдаться в принудительном порядке. В каждом из этих двух случаев существенными могут оказаться и другие условия. Может потребоваться такое правило, при котором партнеры по кооперации будут незаинтересованы скрывать друг от друга свои ресурсы (делать их дефицитными для модели) или отказываться от запланированных поставок. Иногда приходится не забывать об элементарном требовании, чтобы никто не получал доли прибыли без соответствующего вклада в общий выпуск, и т.д.

В общем, принцип оптимальности с точки зрения приложений есть такое правило, какое нужно для решения рассматриваемой проблемы.

Рассмотрим в качестве принципов оптимизации устойчивость коалиционной структуры и принцип справедливости.

Эксцессом дележа х для коалиции К в условиях характеристической функции v называется разность

e_v(x,K) = v(K) - å _iÎK х_i, колторая показывает, насколько может коалиция К увеличить свой выигрыш по сравнению с суммой, предлагаемой по дележу. Если эксцесс положителен, то соответственный дележ реализуем для данной коалиции, в этом случае дележ называется эффективным.

Если дележ не эффективен, то это значит, что сумма платежей превышает выигрыш коалиции. Коалиция увеличить его не может, поэтому неэффективный дележ оптимален по принципу устойчивости.

Дележ называется абсолютно неэффективным, если он не эффективен ни для какой коалиции.

Для игры с постоянной суммой эксцесс положителен и всегда эффективен.

Пример. Рассмотрим существенную игру трех лиц с постоянной суммой. С позиций доминирования в этой игре можно рассматривать только коалиции {1,2}, {1,3}, {2,3}. Пусть х = (х₁, х₂,... х_n) и y = (y₁, y₂,... y_n) - дележи и х dom _1,2 y. Из определения доминирования следует, что должно выполняться

х₁+ х₂ = 1 - х₃ £ v(1,2) и х₁ > у₁, х₂> у₂.

Поскольку по свойству дополнительности для 0-1 редуцированной формы v(1,2) = v (1,2,3) - v(3) = 1 - 0 = 1, то неравенство x₁ + x₂ = 1 - x₃ £ 1 всегда выполняется. Вторая группа неравенств из определения доминирования дележей и х₁ > у₁, х₂> у₂ и условие ее выполнения лучше всего иллюстрируются графически.

Так как рассматривается 0-1 редуцированная форма, то

х₁+ х₂+ х₃ = y₁+ y₂+ y₃ = 1 и любой дележ в такой задаче можно представить как точку симплекса, задаваемую барицентрическими координатами.

Симплекс - простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n = 3 cимплекс - произвольный, в том числе неправильный тетраэдр. При n = 2 симплекс - произвольный треугольник, при n = 1 - отрезок, при n = 0 - одна точка, таким образом, n-мерный симплекс имеет n+1 вершину.

Если в пространстве R^m дана система декартовых координат х₁, х₂,... х_m в которой вершина е_i (i=0: n) имеет координаты х₁(i), х₂(i),... х_m(i), то симплекс с вершинами е₀, е₁, е₂,...е_n состоит из всех точек пространства, координаты которых имеют вид:

х_k = a₀х_k (0) + a₁х_k (1) +...+ a_nх_k(n), k = 1: m, a ³ 0 - произвольные, å a_i= 1.

Барицентрические координаты точки М на плоскости по отношению к трем базисным (не лежащим на одной плоскости) точкам А₁, А₂, А₃ этой плоскости - такие три числа m₁, m₂, m₃ (å m_i= 1), что точка М представляет собой центр тяжести системы из трех материальных точек с массами m₁, m₂, m₃, расположенными в точках А₁, А₂, А₃ (или вершинах симплекса).

В нашем примере роль масс играют полезности, которые получают игроки по рассматриваемым дележам. Если х₁ > у₁, то точка х должна быть расположена ближе к вершине 1, чем точка у. Все точки, соответствующие стороне симплекса 32 имеют нулевую барицентрическую координату х₁, а все точки линии, параллельной ребру 32 - одинаковую барицентричекую координату х₁. Поэтому “расстоянием” между любой точкой симплекса и какой-либо его вершиной является длина перпендикуляра, опущенного из этой вершины на прямую, проходящую через рассматриваемую точку параллельно стороне, противоположной вершине.

Для определения всех точек симплекса, соответствующих дележам, доминируемым дележом х по коалиции {1,2}, необходимо провести через х прямые, параллельные сторонам симплекса 2,3 и 1,3. Заштрихованная область и дает множество доминируемых дележей. Пунктир означает, что внутренние границы области в нее не входят. Точно так же можно построить все области доминирования дележом х по коалициям {1,2}, {2,3} и {1,3}. Незаштрихованные области - соответствуют дележам у₁, доминирующим дележ х₁.

Для того, чтобы дележи не доминировали друг друга, соответствующие им точки должны лежать на прямой, параллельной одной из сторон треугольника (ab, cd и ef на рисунке для дележа х).

Для игры с непостоянной суммой могут иметь место и неэфективные дележи, поэтому неравенство х_i + x_j £ v(i,j), х_i+ х_j+ х_l = 1, может быть нарушено. Так как это равносильно 1- х_l £ v(i,j), то условия доминирования принимают вид:

х_i > у_i, х_j > у_j, х_l ³ 1 - v(i,j).

Поиск по сайту: