Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса. Примеры на применение теоремы Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхность численно равен количеству линий напряженности, пронизывающих эту поверхность

Теорема Гаусса — основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченной этой поверхностью.

Общая формулировка: поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.

В системе СИ:

,

где

— поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность .

— полный заряд, содержащийся в объеме, который ограничивает поверхность .

— электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

В дифференциальной форме теорема Гаусса соответствует одному из уравнений Максвелла и выражается следующим образом

в системе СИ:

,

в системе СГСЭ:

Здесь — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а — оператор набла.

Для теоремы Гаусса справедлив принцип суперпозиции, то есть поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда внутри поверхности.

Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона или, иначе, теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона.

Теорема Гаусса для электрической индукции. Для поля в веществе электростатическая теорема Гаусса может быть записана иначе— через поток вектора электрического смещения (электрической индукции). При этом формулировка теоремы выглядит следующим образом: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду:

Если же рассматривать теорему для напряжённости поля в веществе, то в качестве заряда Q необходимо брать сумму свободного заряда, находящегося внутри поверхности и поляризационного (индуцированного, связанного) заряда диэлектрика:

,

где ,
— вектор поляризации диэлектрика.

Теорема Гаусса для магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является вихревым.

Применение теоремы Гаусса. Для вычисления электромагнитных полей используются следующие величины:

Объёмная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда

,

где dS — бесконечно малый участок поверхности.

Линейная плотность заряда

,

где dl — длина бесконечно малого отрезка.

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной однородной заряженной плоскостью. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости одинакова и равна σ. Представим себе мысленно цилиндр с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основанием ΔS, расположенным относительно плоскости симметрично. В силу симметрии . Поток вектора напряжённости равен . Применив теорему Гаусса, получим:

,

из которого

,

Важно отметить, что, несмотря на свою универсальность и общность, теорема Гаусса в интегральной форме имеет сравнительно ограниченное применение в силу неудобства вычисления интеграла. Однако в случае симметричной задачи решение её становится гораздо более простым, чем с использованием принципа суперпозиции.

Примеры применения теоремы Гаусса:

Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью. Электростатическое поле шара. 3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра). 4. Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью. 5. Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.

Поиск по сайту: