Группы и подгруппы

Опр.3.3.1. Пусть – непустое множество с бинарной операцией . Тогда, если выполняются следующие условия:

1) операция – ассоциативна;

2) в множестве имеется единичный элемент ;

3) для : ;

то множество называется группой.

Таким образом, группа – это обратимый моноид. Число элементов в группе называется ее порядком.

Группа, в которой операция – коммутативна, называется абелевой. Если есть , то группа называется циклической.

Пример.

1) – абелева группа;

2) – абелева группа;

3) Пусть – множество всех перестановок -го порядка . Тогда – симметрическая группа, где – операция композиции перестановок. ▲

Опр.3.3.2. Подмножество группы называется подгруппой, если само образует группу.

Очевидно, что должно содержать единицу .

Опр.3.3.3. Если есть подгруппа и , то множество

называется левым смежным классом для а. Обозначим его как . Аналогично вводится и правый смежный класс: .

Свойства смежных классов и подгрупп по подгруппе Н:

I. Смежные классы задают разбиение группы .

II. (теорема Лагранжа) Порядок конечной подгруппы является делителем порядка конечной группы .

III. Если порядок есть простое число, то у группы нет нетривиальных подгрупп.

IV. Число различных смежных классов равно частному .

Алгебры с различными типами являются различными. Однако, если алгебры имеют один тип, то они могут быть похожи друг на друга. Степень схожести характеризуется понятием «морфизм».

Опр.3.3.4. Пусть имеются две алгебры

и .

Тогда отображение , удовлетворяющее условию

называется гомоморфизмом.

Если гомоморфизм взаимно-однозначный, то он называется изоморфизмом. Если установлен изоморфизм алгебр, то, получив некоторые соотношения в алгебре А, можно их распространить на алгебру В.

Теорема 3.3.1. Любая подгруппа с единицей (моноид) изоморфна некоторой полугруппе преобразований носителя М.

Теорема 3.3.2. (теорема Кэли) Всякая конечная группа изоморфна группе подстановок на множестве ее элементов.

Замечание: В группе при любом количестве «умножений» не теряется информация об исходном элементе. В подгруппе это не всегда так.

Поиск по сайту: