АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Алгебры и подалгебры

Читайте также:
  1. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  2. Арифметика алгебры
  3. Законы и тождества алгебры логики
  4. Использование алгебры логики для моделирования систем с резервированием
  5. Основные законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений
  6. Основные положения алгебры логики
  7. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
  8. Основные тождества алгебры множеств.
  9. Основы алгебры логики
  10. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.
  11. Решение некоторых задач алгебры матриц

Всякую функцию типа

 

будем называть -арной операцией, определенной на множестве . При этом число аргументов называется арностью операции. В частности, при имеем бинарную операцию

 

.

 

Опр.3.1.1. Множество вместе с заданной на нем совокупностью операций называется алгеброй . При этом само множество называется носителем алгебры, а совокупность операций сигнатурой алгебры.

Набор арностей операций из сигнатуры называется типом алгебры.

Множество называется замкнутым относительно некоторой операции , определенной на , если значения на аргументах из сами принадлежат , т.е.

.

Если замкнуто относительно всех операций из сигнатуры алгебры , то называется подалгеброй алгебры

 

Пример.

1) Для алгебры .

Так как обе операции бинарные, то тип алгебры . Такая алгебра называется полем действительных чисел.

Очевидно, что есть подалгебра .

2) Пусть задано некоторое множество , а – его булеан. Тогда алгебра ¯ имеет сигнатуру ¯ , а ее тип . Данная алгебра называется булевой алгеброй множеств или алгеброй Кантора. ▲

Если – конечное множество, то бинарные операции могут быть заданы таблицами.

 

Пример.

1) Рассмотрим квадрат с вершинами в точках , , , и повороты вокруг центра квадрата, переводящие вершины друг в друга. Зафиксируем некоторое направление поворота как положительное. Существует всего 4 различных поворота, переводящих вершины в себя, а именно, повороты на 0, , , радиан. Таким образом, получаем алгебру с носителем , , , и 4 унарными операциями-поворотами . Таблица имеет вид:

 

 

Тип алгебры (1, 1, 1, 1). У этой алгебры нет подалгебр.

 

2) Рассмотрим множество поворотов с бинарной операцией: – композицией преобразований. Тогда есть алгебра поворотов с носителем и сигнатурой, состоящей из одной операции . Тип алгебры (2). Ее таблица Кэли имеет вид:

 

Множество образует подалгебру алгебры :

 

 

 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)