АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Обратная матрица

Читайте также:
  1. Биологическая обратная связь
  2. Биологическая обратная связь.
  3. Вопрос. Обратная функция
  4. Вопрос: Действие нормативно-правовых актов во времени, в пространстве и по кругу лиц. Обратная сила закона.
  5. Действие уголовного закона в пространстве и во времени. Обратная сила закона.
  6. Действие уголовного закона во времени. Обратная сила закона
  7. Документ 4.4. Внешняя обратная связь
  8. Жесткая обратная связь
  9. Инерционная гибкая обратная связь
  10. Инерционная жесткая обратная связь
  11. Обратная дискриминация
  12. Обратная задача теории погрешности

Матрицы.

Матрицей размера м*н называется прямоугольная таблица чисел, содержащая м строк и н столбцов. Числа составляющие матрицу называются ее элементами.

Матрица состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строк, а из одного столбца – матрицей –столбцом

Матрица называется квадратной, если число ее строк = числу ее столбцов. Элементы матрицы, у которых номера столбца = номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если все недиоганальные элементы квадратной матрицы =0, то матрица назыв диагональной. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы = 1, то матрица назыв единичной матрицей. Матрица любого порядка назыв нулевой, если все ее эл-ты = 0

Операции над матрицами.

1) Умножение матрицы на число. Все эл-ты матрицы умножаем на это число. Произведением матрицы А на число № назыв матрица В=№А.

2) Сложение матриц. Сумма 2х матриц одинакового размера назыв матрица С=А+В, эл-ты которой cij=aij+bij

3) Вычитание. А-В=А+(-1)*В

4) Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов 1ой матрицы =числу строк второй. Тогда произведением матриц А*В назыв такая матрица С, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

5) Транспонирование. Переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

6) Возведение в степень. Целой положительной степенью А в степени м (м>1)квадратной матрицы А называется произведение м матриц, равных А.

В матрице А размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m;n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы.

 

Обратная матрица.

Матрица А(-1) называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица.

Теорема: Обратная матрица А(-1)существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А (-1), т.е. А*А (-1)= А(-1)А=Е. Тогда по свойству определителя (определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей) │А*А(-1)│= │А│*│А(-1)│= │Е│=1, т.е. │А│=/0 и │A(-1) =/ 0

Достаточность. Пусть │А│=/ 0.Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка Ẫ, называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы А’, транспонированной к А: ẫij= А’ij=Aji (i=1,n; j=1,n) тогда элементы произведения матриц Ẫ*А=В определяются по правилу умножения матриц: bij = s=1∑n ẫisasj = s=1∑n Asi asj =

|A| i=j

0 при i=/j

Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали = определителю исходной матрицы. Аналогично доказывается, что произведение А на Ẫ равно той же матрице В:А* Ẫ= Ẫ*А=В. Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу А(-1)= 1/ │А│* Ẫ (│А│<>0) (1)

То произведение А(-1) * А и А*А(-1) равны единичной матрице Е n-ого порядка: А(-1)*А=А*А(-1)= 1/│А│*В=Е

Алгоритм вычисления:

1) находим определитель исходной матрицы. Если │А│=0, то матрица А – вырожденная и обратной матрицы не существует. Если │А│<>0, то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2) Находим матрицу А’, транспонированную к А

3) Находим алгебраическое дополнение элементов транспонированной матрицы А’ij=Aij (i=1,n; j=1,n) и составляем из них присоединенную матрицу Ẫ: ẫij= А’ij= Аij

4) Вычисляем обратную матрицу по формуле (1,14)

5) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А(-1), исходя из ее определения А*А (-1)= =А(-1)А=Е


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)