Обратная матрица

Матрицы.

Матрицей размера м*н называется прямоугольная таблица чисел, содержащая м строк и н столбцов. Числа составляющие матрицу называются ее элементами.

Матрица состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строк, а из одного столбца – матрицей –столбцом

Матрица называется квадратной, если число ее строк = числу ее столбцов. Элементы матрицы, у которых номера столбца = номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если все недиоганальные элементы квадратной матрицы =0, то матрица назыв диагональной. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы = 1, то матрица назыв единичной матрицей. Матрица любого порядка назыв нулевой, если все ее эл-ты = 0

Операции над матрицами.

1) Умножение матрицы на число. Все эл-ты матрицы умножаем на это число. Произведением матрицы А на число № назыв матрица В=№А.

2) Сложение матриц. Сумма 2х матриц одинакового размера назыв матрица С=А+В, эл-ты которой cij=aij+bij

3) Вычитание. А-В=А+(-1)*В

4) Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов 1ой матрицы =числу строк второй. Тогда произведением матриц А*В назыв такая матрица С, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

5) Транспонирование. Переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

6) Возведение в степень. Целой положительной степенью А в степени м (м>1)квадратной матрицы А называется произведение м матриц, равных А.

В матрице А размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m;n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы.

Обратная матрица.

Матрица А(-1) называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица.

Теорема: Обратная матрица А(-1)существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А (-1), т.е. А*А (-1)= А(-1)А=Е. Тогда по свойству определителя (определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей) │А*А(-1)│= │А│*│А(-1)│= │Е│=1, т.е. │А│=/0 и │A(-1) =/ 0

Достаточность. Пусть │А│=/ 0.Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка Ẫ, называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы А’, транспонированной к А: ẫij= А’ij=Aji (i=1,n; j=1,n) тогда элементы произведения матриц Ẫ*А=В определяются по правилу умножения матриц: bij = s=1∑n ẫisasj = s=1∑n Asi asj =

|A| i=j

0 при i=/j

Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали = определителю исходной матрицы. Аналогично доказывается, что произведение А на Ẫ равно той же матрице В:А* Ẫ= Ẫ*А=В. Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу А(-1)= 1/ │А│* Ẫ (│А│<>0) (1)

То произведение А(-1) * А и А*А(-1) равны единичной матрице Е n-ого порядка: А(-1)*А=А*А(-1)= 1/│А│*В=Е

Алгоритм вычисления:

1) находим определитель исходной матрицы. Если │А│=0, то матрица А – вырожденная и обратной матрицы не существует. Если │А│<>0, то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2) Находим матрицу А’, транспонированную к А

3) Находим алгебраическое дополнение элементов транспонированной матрицы А’ij=Aij (i=1,n; j=1,n) и составляем из них присоединенную матрицу Ẫ: ẫij= А’ij= Аij

4) Вычисляем обратную матрицу по формуле (1,14)

5) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А(-1), исходя из ее определения А*А (-1)= =А(-1)А=Е

Поиск по сайту: