Комплексные числа

Определитель Вандермонда.

Для определителя Вандермонда справедлива формула

Определитель Вандермонда равен нулю, тогда и только тогда, когда среди чисел x1,…,xn есть хотя бы два одинаковых.

Комплексные числа.

Комплексным числом z называется выражение вида z=x+iy, где x и y – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i²=-1.

Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если y=0, то число x+i0=x отождествляется с действительным числом x, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. RÌC.

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x=Re z, а y – мнимой частью z, y=Im z.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятие «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводится.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости Oxy такой, что x=Re z, y=Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=x+i0=x. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные чмсла z=0+iy.

Комплексное число z=x+iy можно задавать с помощью радиус-вектора OM=(x;y). Длина вектора OM, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z|. Величина угла между положительным направлением действительной осью и вектором ОМ, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или j.

Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z<>0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2pk (k=0,-1,1,-2,2…): Arg z=arg z+2pk, где arg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке (-p;p].

Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль OM и аргумент j комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора OM, изображающего комплексное число z=x+iy. Тогда получаем x=rcosj, y=rsinj, где r=OM. Следовательно, комплексное число z=x+iy можно записать в виде z=rcosj+irsinj или z=r(cosj+isinj). Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой. r=|z|=Ö(x²+y²).

Использую формулу Эйлера e^ij= cosj+isinj, комплексное число z=r(cosj+isinj) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=re^ij, где r=|z| - модуль комплексного числа, а угол j = Arg z=arg z+2pk.

Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2=iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z1+z2=(x1+x2)+I(y1+y2).

Сложение двух комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Геометрические комплексные числа складываются как векторы.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z=z1-z2, если z+z2=z1.

Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2).

Геометрические комплексные числа вычитаются как векторы.

Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z=z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2).

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение i²=-1.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то zⁿ=(r(cosj+isinj))ⁿ=rⁿ(cosnj+isinnj). Эта формула называется формулой Муавра.

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и z2 <>0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженное на z2, даёт число z1, т.е. z1/z2=z, если z2z=z1.

Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид:

При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.

Извлечение корня n-ой степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.

Корнем n-ой степени из комплексного числа zназывается комплексное число w, удовлетворяющее равенству wⁿ=z.

Если положить z=r(cosj+isinj), а w=p(cosq+isinq), то, по определению корня и формуле Муавра, получаем z=wⁿ=pⁿ(cos(nq)+isin(nq))=r(cosj+isinj). Отсюда имеем pⁿ=r, nq=j+2pk,k=0,-1,1,-2,2,… То есть q=(j+2pk)/n и p=r^(1/n) (арифметический корень). Поэтому равенство z^(1/n)=w принимает вид:

k=0,1,…,n-1

Поиск по сайту: