Метод Гаусса ( метод последовательного исключения неизвестных)

1шаг. Выписываем расширенную матрицу системы (2.3) .

2 шаг. Элементарными преобразованиями приводим матрицу к ступенчатому виду .

3 шаг. Выписываем систему линейных уравнений, с полученной расширенной ступенчатой матрицей . По теореме 3.1. данная система эквивалентна исходной системе (2.3).

4 шаг.Решая преобразованную систему, получаем одновременно и решение системы (2.3).

Чтобы убедиться насколько просто решаются системы ступенчатого вида, рассмотрим пример.

Пример 2.2. Решить систему линейных алгебраических уравнений ступенчатого вида

Решение. Такие системы решаются обратным ходом. Из последнего уравнения находим

. Подставляя его во второе уравнение, находим . Подставляя найденные числа

в первое уравнение, находим .

Проверкой убеждаемся в правильном ответе

Пример 2.3. Решить систему уравнений:

Решение.

1 шаг. Выписываем расширенную матрицу системы

2 шаг. Элементарными преобразованиями приводим матрицу к ступенчатому виду

3шаг. По полученной ступенчатой матрице выписываем систему линейных уравнений

эквивалентную данной системе

4 шаг. Решая систему обратным ходом,получаем

Ответ

ПРИМЕР 2.4. Решить систему уравнений

Решение. Система имеет одно уравнение и три неизвестных. Два из неизвестных можем задавать

сами произвольно, а третье определять из уравнения. Полагаем , где -произвольные параметры. Подставляя их в уравнение, получаем

Решением данной системы является бесконечный набор чисел, зависящий от двух параметров :

Пример 2.5. Решить систему уравнений

1 шаг. Выписываем расширенную матрицу системы

2 шаг. Элементарными преобразованиями приводим матрицу к ступенчатому виду

=

3 шаг. По полученной ступенчатой матрице выписываем систему линейных алгебраических уравнений равносильную заданной системе

4 шаг. Если переменную задавать произвольно, полагая , то из второго уравнения полученной системы вычисляем неизвестное : . Подставляя найденные величины в первое уравнение получаем неизвестное :

Ответ: Данная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений. Каждое конкретное решение зависит от выбора параметра . Например, полагая находим . Полагая находим и т.д.

Ответ. Общее решение имеет вид: .

Пример 2.6. Решить систему уравнений

1 шаг. Выписываем расширенную матрицу системы

2 шаг. Элементарными преобразованиями приводим матрицу к ступенчатому виду

3 шаг. По полученной ступенчатой матрице выписываем систему линейных уравнений,

равносильную заданной системе

4 шаг. Третье уравнение полученной системы решений не имеет так как .

Следовательно, система решений не имеет. Данная система равносильна

заданной и по этому она также не имеет решений.

Ответ: заданная система несовместна.

Контрольные вопросы

1. Может ли система линейных алгебраических уравнений иметь ровно два решения?

2. Система уравнений не имеющая решений называется ….?

3. Cистема уравнений имеющая бесконечно много решений называется….?

4. Какие системы можно решать методом Крамера? Матричным методом?

5. При каком условии однородная система имеет только нулевое решение?

6. Система линейных уравнений имеет единственное решение. Что можно сказать про главную матрицу системы?

Поиск по сайту: