Свойства операции умножения матриц

1. Умножение матриц не коммутативно, т.е. , даже если определены оба произведения. Однако если для каких-либо матриц соотношение выполняется, то такие матрицы называются еще перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица , которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка . Очевидно, что для любых матриц выполняется следующее свойство: , где – нулевая матрица.

2. Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения и , то определены и , и выполняется равенство: .

3. Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения и , то соответственно:

4. Если произведение определено, то для любого числа верно соотношение:

.

Замечание 1.1. Произведение матриц определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц содержит столько строк, сколько имеет первая матрица, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица.

Замечание 1.2. В общем случае , даже если оба произведения матриц, и , определены. Матрицы, для которых выполняется условие , называются коммутативными.

5. Как и умножение чисел, произведение матриц подчиняется сочетательному закону: .

Поиск по сайту: