Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарность).

2. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного произведения, то есть . В силу этого свойства смешанное произведение векторов , и можно записывать в виде .

3. Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке: .

4. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак: .

Пусть векторы заданы их разложением по ортам: , , . Тогда

.

Из свойств смешанного произведения трех векторов вытекает следующее:

- необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие ;

- объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , равен: .

Решение типовых примеров

Пример 6. Компланарны ли векторы , и , если (-1, 5, 1),

(-1, 3, -1), (2, 0, 2)?

Решение. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов , и является равенство нулю их смешанного произведения, то есть .

Находим смешанное произведение векторов , ,

.

Так как смешанное произведение векторов не равно нулю, то заданные векторы , и не компланарны.

Ответ. Векторы , и не компланарны.

Пример 7. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A, B, C, D и его высоту, опущенную из вершины D на грань ABC, если:

А (1, 4, 6), В (1, 2, 1), С (1, 0, 1), D (5, 6, -3).

Решение. Вычислим координаты векторов , и , совпадающих с ребрами пирамиды и исходящих из вершины А:

, , . Найдем смешанное произведение векторов:

.

Тогда объем пирамиды, построенной на векторах , и , вычистится по формуле:

(куб. ед.)

Известно, что объем пирамиды находится по формуле:

,

где – площадь основания пирамиды.

Поэтому высота пирамиды может быть определена по формуле:

.

Определим площадь основания пирамиды :

.

Следовательно, (кв. ед.)

Итак, окончательно получаем: (ед.)

Ответ. (куб. ед.), (ед.)

Поиск по сайту: