Прямоугольная декартова система координат

Элементы векторной алгебры

Основные понятия и определения

Вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно самому себе (рис. 1.1).

Вектор обозначается либо одной, либо двумя буквами со стрелкой сверху: Во втором случае точки А и В являются началом и концом вектора соответственно.

Длиной вектора называется длина отрезка АВ. Если два вектора имеют одну и ту же длину и направление, то они представляют из себя один и тот же вектор и называются равными.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается . Длина такого вектора равна нулю, а понятие направления для него не имеет смысла.

Вектор, длина которого равна единице в выбранной системе единиц, называется единичным и, как правило, обозначается .

Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Суммой двух векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих двух векторах, выходящих из одной общей точки (рис. 1.2).

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1.

2.

Для любого вектора существует противоположный вектор по отношению к нему, который обозначается имеющий ту же длину и противоположное направление. Сумма

Сложение произвольного вектора с нулевым вектором дает нулевой вектор:

Разностью двух векторов и называется такой вектор , что (рис. 1.3). Очевидно, что разность векторов есть сумма первого вектора и вектора, противоположного второму:

Произведением вектора на действительное число a называется вектор , длина которого , а направление совпадает с направлением вектора , если a > 0, и противоположно вектору , если a < 0.

Операция произведения вектора на число обладает следующими свойствами:

1.

2.

3.

4.

5.

Справедлива следующая теорема. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Важным понятием в аналитической геометрии является понятие проекции вектора на прямую или на ось (ось – направленная прямая, причем заданное направление оси называется положительным, а противоположное ему – отрицательным).

Проекцией точки А на ось L называется точка А ', в которой пересекаются прямая L и плоскость, перпендикулярная L и проходящая через точку А.

Другими словами, проекцией точки А на ось является основание перпендикуляра АА ', опущенного из точки А на эту ось (рис. 1.4).

Проекцией вектора на ось L, обозначаемой , называется вектор , где А ' и В ' – проекции начала и конца вектора

Проекция вектора на ось лежит на этой оси и направлена либо вдоль этой оси, либо в противоположном направлении.

Если вектор перпендикулярен оси, то его проекцией на эту ось является нулевой вектор.

Числовой проекцией вектора на ось L, обозначаемую , называется произведение длины вектора на косинус угла между вектором и направлением оси:

.

Частные случаи:

1. Если = или , то = 0;

2. Если , а , то > 0;

3. Если , а , то < 0.

Выполняется следующее равенство:

где – единичный вектор в направлении оси L.

Проекции обладают следующими свойствами:

1.

2.

Пример. Даны вектор , образующий с осью L угол 45⁰, и вектор , образующий с этой же осью угол 120⁰. Известно, что Найти числовую проекцию на ось L вектора

Решение.

Пример. При каком условии вектор будет коллинеарен вектору ?

Решение. Запишем условие коллинеарности векторов и :

Тогда:

т. е. для удовлетворения условия задачи необходимо, чтобы векторы и были коллинеарными.

Прямоугольная декартова система координат

Введем в пространстве три взаимно перпендикулярные направленные прямые (оси) O x, O y и O z, проходящие через общую точку О (рис. 1.5). Эти оси назовем осями координат, а точку О – началом координат или центром системы координат. Плоскости x O y, x O z и y O z будем называть координатными плоскостями.

Для данной системы координат введем отрезок единичной длины, при помощи которого измеряются длины всех остальных отрезков.

Пусть А – произвольная точка трехмерного пространства. Вектор будем называть радиус-вектором точки А. Числовые проекции вектора на оси координат x = a_x (абсцисса), y = a_y (ордината), z = a_z (аппликата) будем называть прямоугольными декартовыми координатами (или просто координатами) точки А.

Очевидно, что для любой точки трехмерного пространства существует взаимно-однозначное соответствие между этой точкой, ее радиус-вектором и тройкой чисел – координат этой точки. Для каждой точки ее радиус-вектор записывают в виде , а координаты точки записывают так: .

Очевидно, что два радиус-вектора и равны тогда и только тогда, когда одновременно a_x = b_x, a_y = b_y, a_z = b_z.

Справедливы следующие выражения:

Введем вдоль каждой координатной оси единичные векторы которые будем называть ортами координатных осей. Эти орты имеют следующие координаты: Тогда вектор можно записать в следующем виде:

Если ввести углы a, b, g между радиус-вектором и координатными осями, то получим:

.

Косинусы соответствующих углов называются направляющими косинусами радиус-вектора . Очевидно, что

Вводится понятие ориентации прямоугольной системы координат. Говорят, что система координат правая, если для наблюдателя, находящегося вдоль направления оси O z, кратчайший поворот от оси O x к оси O y осуществляется против часовой стрелки. В противном случае система координат называется левой.

Про правую и левую системы координат говорят как о противоположно направленных системах координат. Очевидно, что вращение как жесткого целого определенным образом ориентированной системы координат никогда не приведет к изменению ее ориентации.

Рассмотрим 2 системы координат xOy и XO’Y, приведенные на рис. 1.6. Система координат XO’Y получена путем параллельного переноса

Пример. Известно, что углы между вектором и осями координат O x и O z составляют a = 45⁰ и b = 120⁰ соответственно. Найти координаты этого вектора при условии, что его длина равна 2.

Решение. Найдем угол g между вектором и осью O z.

Теперь находим координаты вектора .

Таким образом: .

Пример. Даны векторы и . Найти векторы и .

Решение.

Поиск по сайту: