Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и , обозначаемым , называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 1.6): .

С учетом введенного ранее понятия проекции вектора можно записать также:

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1.

2.

3.

4.

Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора:

Очевидно, что для ортов координатных осей справедливо:

Пусть даны два вектора и . Тогда:

Для скалярного квадрата вектора получим:

и тогда для длины вектора:

Расстояние между двумя точками А и В с радиус-векторами и определяется выражением:

Для косинуса угла между векторами справедливо следующее выражение:

Векторы и являются коллинеарными если выполняется условие:

Условие перпендикулярности векторов записывается так:

Пример. Найти скалярное произведение векторов и и угол между ними.

Решение. Сначала найдем скалярное произведение:

Теперь вычислим длины векторов:

И, наконец, определим угол между ними:

Пример. Даны координаты вектора : a_x = 1, a_y = 2. Найти a_z, если известно, что длина вектора равна 3.

Решение. Имеем:

Тогда

Пример. Даны три точки Найти периметр

Решение. Найдем длины сторон треугольника.

Тогда периметр

Пример. Даны три вектора: , и . Вычислить: .

Решение.

Отсюда

Поиск по сайту: