|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Операции над матрицамиРассмотрим операции над матрицами. 1. Матрица Ат, получающаяся из матрицы А = (аij) т ´ п заменой ее строк столбцами, называется транспонированной к А. А = Þ Ат = . 2. Матрицы А = (аij) т ´ п и В = (bij) т ´ п одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы (т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах): А = В Û аij = bij, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. 3. Суммой матриц А = (аij) т ´ п и В = (bij) т ´ п одинаковой размерности называется матрица С = (сij) т ´ п, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В: сij = аij + bij. 4. Произведением матрицы А = (аij) т ´ п на число l называется матрица lА, элементы которой равны произведениям элементов матрицы А на число l: lА = (l аij) т ´ п Операции сложения и умножения на число обладают свойствами: 1) А + В = В + А, 2) А + (В + С) = (А + В) + С, 3) l(А + В) = lА + lВ, 4) (l + m)А = lА + mА, 5) l(mА) = (l.m)А. Доказательство этих свойств легко провести, пользуясь непосредственно определением соответствующих операций. 5. Разность матриц А и В определяется равенством А – В = А + (–1)В. 6. Произведение матрицы А = (аij) на матрицу В = (bij) есть матрица С, элементы которой находят по правилу сij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +... + ainbnj, i = 1,2,..., n, j = 1,2,..., k, т.е. чтобы найти элемент матрицы С, стоящий в i – ой строке и j -ом столбце, нужно взять i - ю строку матрицы А и j -й столбец матрицы В, попарно перемножить их соответствующие элементы и полученные произведения сложить. Произведение С = АВ матриц А и В определено тогда и только тогда, когда размерности этих матриц удовлетворяют условию А т ´ п. В п ´ k = С т ´ k. Свойства умножения матриц: 1) (АВ)С = А(ВС), 2) (А + В)С = АС + ВС, А(В + С) = АВ + АС, 3) l(АВ) = (lА)В = А(lВ), 4) (АВ)т = ВтАт, 5) АЕ =А, ЕА = А, 6) (АВ)* = B*A* Доказать эти свойства самостоятельно. Обратите внимание, умножение матриц не обладает свойством коммутативности: АВ ¹ ВА. Более того, если одно из этих произведений существует, то второе – совсем не обязательно. Например, если А2´3 и В3´3, то АВ можно найти, а ВА не определено. Если же выполняется условие АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными. Естественно определить натуральную степень квадратной матрицы по правилу: А п = . Тогда можно рассматривать и матричный многочлен вида Р(А) = ап А п + ап –1А п –1 + … + а 1А + а 0Е. Квадратную матрицу А, удовлетворяющую условию А = Ат, называют симметрической. Для такой матрицы аij = aji, i, j = 1,2,..., n, i ¹ j. Квадратную матрицу А, удовлетворяющую условию А = –Ат. называют кососимметрической. Для такой матрицы аij = – aji при i ¹ j и аii = 0, i, j = 1,2,..., n. Матрица А, удовлетворяющая условию А = A*, называется эрмитовой. Если А* = –A, то матрица А – косоэрмитова матрица. Матрица А–1 называется обратной для квадратной матрицы А, если А–1А = АА–1 = Е. Матрица А, удовлетворяющая условию Ат = А–1, называется ортогональной матрицей. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |