Определение 2.6

Максимальное число линейно независимых строк матрицы А называют рангом этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rang A или r (A).

Ранг матрицы обладает свойствами:

· ранг матрицы А равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы;

· для матрицы А = (а_ij) _{m ´ n} 0£ r (A) £ min(m, n), причем r (A) = 0 тогда и только тогда, когда А – нулевая матрица;

· для квадратной матрицы А порядка п r (A) = п тогда и только тогда, когда А–невырожденная;

· r (A) = r (A^т);

· ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть из нее или приписать к ней нулевой ряд (т.е. строку или столбец, состоящие из одних нулей);

· ранг матрицы А_Э, полученной из матрицы А с помощью элементарных преобразований, равен рангу исходной матрицы А.

Можно использовать следующий алгоритм вычисления ранга матрицы:

1) Заданную матрицу А элементарными преобразованиями привести к треугольной или трапециевидной форме А_Э.

2)Записать r (A) = r (А_Э) = k, т.е. числу ненулевых строк матрицы А_Э, так как минор k -го порядка

,

а все миноры более высоких порядков равны нулю, поскольку содержат нулевые строки.

Понятие ранга матрицы может быть использовано для исследования СЛУ.

Теорема 2.3(Кронекера-Капелли)

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг r(A) основной матрицы системы равен рангу r() расширенной матрицы, т.е. .

Число r = называют рангом системы уравнений.

Исследование системы с помощью ранга можно проводить следующим образом:

1. Вычислить r (A) и r (); если r (A) ¹ r (), то система несовместна;

2. Если r (A) = r (`А) = r, то система совместна и

а) при r = п имеет единственное решение;

б) при r < n имеет бесчисленное множество решений. В этом случае r неизвестных СЛУ являются базисными, остальные п – r неизвестных – свободными. Базисными неизвестными выбираются те, коэффициенты при которых в матрице А_Э образуют отличный от нуля минор (базисный минор).

Рассмотрим пример.

Исследовать СЛУ и в случае совместности – решить.

Запишем расширенную матрицу системы и найдем ее ранг, преобразовав к трапециевидной форме

`А= Þ Þ = =`А_Э.

Ранг матрицы `А<sub>Э</sub> равен 3 (три ненулевые строки), а значит и r = 3. Однако матрица, элементы которой стоят слева от вертикальной черты – есть матрица А<sub>Э</sub> для основной матрицы системы (которая записана в ` А слева от вертикальной черты). А эта матрица имеет только две ненулевые строки, что означает r (А_Э) = r (А) = 2. Таким образом, r (A) ¹ r и в этом случае система несовместна.

Если же рассмотреть систему , то нетрудно убедиться в ее совместности:

`А= Þ Þ = =`А_Э,

значит, r (A) = r = r = 2 – система совместна. Число неизвестных п = 3 и r < n, в этом случае система имеет множество решений.

Поиск по сайту: