|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Обратная матрица. В пункте 2 мы дали определение обратной матрицы А–1 для заданной квадратной матрицы А: обратной называют матрицу А–1В пункте 2 мы дали определение обратной матрицы А–1 для заданной квадратной матрицы А: обратной называют матрицу А–1, удовлетворяющую условию А–1А = АА–1 = Е, (1)
Для всякой ли квадратной матрицы существует обратная и единственна ли она? На эти вопросы отвечает следующая теорема: Теорема 1.1. Квадратная матрица А = (аij) п ´ п имеет обратную тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы отличен от нуля. При этом обратная матрица А–1 единственна и имеет вид А–1 = , (2) где |A| – определитель матрицы А, Aij –алгебраические дополнения элементов аij матрицы А (i, j = 1,2,…, n). Доказательство: 1) Покажем сначала, что матрица вида (2) удовлетворяет равенству (1). Имеем АА–1 = = = (здесь использовано свойство 7 определителей) = = Е. Аналогично можно показать и равенство А–1А = Е. Следовательно, матрица вида (2) есть обратная к А по определению и, очевидно, она существует, если |A| ¹ 0. 2) Покажем, что обратная матрица вида (2) – единственная, которая условиям (1) удовлетворяет. Предположим, что существует еще одна матрица – В, для которой справедливо равенство (1): АВ = ВА = Е. Умножим обе части равенства АВ = Е на А–1 слева, получим А–1АВ = А–1Е Þ (А–1А)В = А–1 Þ ЕВ = А–1 Þ В = А–1, т.е. рассмотренная матрица В совпадает с обратной матрицей А–1 вида (2). Следовательно, обратная для заданной квадратной матрицы – единственная. ЧТД. Из теоремы 3.1 следует алгоритм отыскания обратной матрицы: 1. Вычислить определитель |A| заданной матрицы А. |A| ¹ 0, переходим к пункту 2, если же |A| = 0, то обратной матрицы для заданной не существует. 2. Вычислить алгебраические дополнения Аij всех элементов матрицы А и составить из них матрицу Ап = – эта матрица называется присоединенной к матрице А. 3. Транспонировать присоединенную матрицу Ап и умножить на число . В результате получится матрица А–1. Отметим свойства обратных матриц: 1) (АВ)–1 = В–1А–1; 2) (А–1)–1= А; 3) (Ат)–1= (А–1)т; 4) |A–1| = |A|–1= . 5) Матрица, обратная для невырожденной симметрической матрицы есть симметрическая матрица; обратная для кососимметрической матрицы есть кососимметрическая матрица. Матрицу А, для которой А–1 = Ат, называют ортогональной. Обратная для ортогональной матрицы является ортогональной матрицей. С помощью обратной матрицы можно решать матричные уравнения вида АХ = В и ХА = В, где А – невырожденная квадратная матрица. Умножая первое уравнение на А–1 слева, а второе – на А–1 справа, получают решение этих уравнений в виде Х = А–1В и Х = ВА–1 соответственно. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |