 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Умножение матриц. Лекция 1. Элементы линейной алгебры
Лекция 1. Элементы линейной алгебры.
Матрицы и определители. Основные понятия о матрицах.
Понятие матрицы и раздел математики, изучающий матрицы – матричная алгебра, имеет особо важное значение для экономистов, т.к. на использовании этого раздела построены многие экономические дисциплины: в частности «ЭММ и М», «Финансовая математика», «Эконометрика», «Оценка и анализ рисков».
Цель: освоение следующих вопросов:
1.Матрица – это прямоугольная таблица чисел, имеющая размерность (число строк и столбцов).
2.Квадратную матрицу можно связать с числом – ее определителем.
Задача: а) научиться вычислять определители 2-го и 3-го порядков;
б) уметь находить обратную матрицу и проверять правильность решения.
| Определение. Матрицей размерности mxn называется прямоугольная таблица из элементов любой природы, имеющая mстрок и n столбцов. |
Элементами матрицы могут быть числа, буквы, функции, рисунки, любые знаки.
а11 а12 …. а1n где i - номер строки, 1≤ i≤ m
А = а21 а22 …. а2n = (aij)mxn, j – номер столбца, 1≤ j≤ n
………………………
аm1 am2 …. amn m xn
Если m=n, матрица называется квадратной.
Если размерность матрицы 1x n A=(a1 a2 … an)1xn, матрица называется строчной или вектор-строка.
Если размерность mx1, матрица называется столбцевой (вектор - столбец).
b1
B = b2
….
bn mx1
Если все aij= 0, матрица называется нулевой: O = (о)mxn
aij= 0, i≠j
Если m=n и матрица называется диагональной
aij≠0, i=j
Например,
2 0 0
А= 0 1 0
0 0 6
Если в диагональной матрице элементами диагонали являются единицы, матрица называется единичной и обозначается
1 0 …. 0
Е =0 1 …. 0
………………….
0 0 …. 1
Матрицы А=(aij)mxn и B=(bij)mxn называются равными, если они имеют одинаковую размерность и совпадают поэлементно.
A=B aij=bij
Операции над матрицами.
Над матрицами можно проводить все линейные операции, известные из курса алгебры. Причём, эти операции подчиняются всем законам линейной алгебры.
Сложение матриц.
Пусть А=(aij)mxn и B=(bij)mxn матрицы одинаковой размерности. Суммой матриц А и В называется матрица С той же размерности.
C = A+B=(aij +bij)mxn
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А=(aij) на число k называется матрица
B=kА=(kaij)mxn
Эти операции подчиняются следующим свойствам:
1. А+В=В+А – переместительность.
2. А+В+С=(А+В)+С=А+(В+С) – сочетательность
3. А+0=А
4. kA=Ak
5. k(A+B)=kA+kB – распределительность относительно числового множителя.
6. (k1+k2)A=k1A+k2A – распределительность относительно матричного множителя.
7. k1Ak2=(k1k2)a=k1(Ak2)
Умножение матриц.
Это новая операция, не относящаяся к линейным операциям.
| Пусть даны две матрицы А = (аij)mxр и В = (bij)pxn. Произведением этих матриц называется матрица С = (cij)mxn, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В. |
… … …. … … bij …
А = а21 а22 …. а2n - i - строка B = … b2j …
………………………..……………
… bpj … pxn
j - столбец
j столбец
Cmxn = Cij i строка
| cij = ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aip bpj |
Поиск по сайту: