 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Задачи для самостоятельного решения. 1. Вычислить определитель 2-го порядка: ; ;
1. Вычислить определитель 2-го порядка: 
; 
; 
.
2. Вычислить определители, разложив их по элементам указанного ряда 
(по 2-му столбцу); 
(по 3-ей строке); 
(по 1-му столбцу).
3. Упростить и вычислить определители задания 2.
4. Упростить и вычислить определители
; 
; 
; 
.
5. Привести матрицы к ступенчатому виду и определить их ранг
; 
; 
.
6. Найти сумму матриц –2 А + 3 В, если 
, 
.
7. Найти произведение матриц АВ и ВА, если 
, 
и если 
, 
.
8. Найти произведение матрицы 
и вектор-столбца 
.
9. Исследовать систему уравнений на совместность и решить её методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом.
3 x – y – z = –3
2 x + 2 y + 4 z = 0
– x – 3 y + z = 5
Решение.
Метод Крамера. Вычислим определитель основной матрицы системы А
= 
=
= 0A13 +0A23 + 1A13 = 1(–1)1 + 3 
= 52.
Третью строчку прибавим к первой, затем, третью строчку умножим на –4 и прибавим ко второй. Затем проведем разложение определителя по третьему столбцу.
Т.к. det A 
0,то система совместная, определенная с единственным решением. Вычислим три вспомогательных определителя, последовательно заменяя в матрице А 1, 2, 3 столбцы на столбец из свободных членов
= 
=
= 0 A 13 + 0 A 23 + 1 A 13 = 1(–1)1 + 3 
= –52.
= 
=
= 0A13 + 0A23 + 1A13 = 1(–1)1 + 3 
= –52.
= 
=
= 0A11 + 0A21 – 1A31 = 1(–1)3 + 1 
= 52.
По формулам Крамера решения системы равны отношению определителей
X = 
= –1, Y = 
= –1, Z = 
= 1.
Метод Гаусса. Преобразуем расширенную матрицу системы уравнений к треугольному виду
(A / B) = 
= 
=
Поменяли порядок строк. Первую строку умножили на 2 и прибавили ко второй. Первую строку умножили на 3 и прибавили к третьей.
= 
= 
.
Вторую строку умножили на –5/2 и прибавили к третьей. Пришли к треугольной форме матрицы, из которой следует:
3 строка определяет уравнение –13 Z = –13 
Z = 1
2 строка определяет уравнение –4 Y + 6 Z = 10 –4 Y = 4 Y = –1
1 строка определяет уравнение – X – 3 Y + Z = 5 – X = 1 X = –1
Ответ X = –1, Y = –1, Z = 1.
Матричный метод Построим матрицу обратную к основной матрице системы уравнений
, где det A = 52.
Для этого вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:
A 11 = (–1)1+1 
= 14; A 12 = (–1)1+2 
= –6; A 13 = (–1)1+3 
= –4;
A 21 = (–1)2+1 
= 4; A 22 = (–1)2+2 
= 2; A 23 = (–1)2+3 
= 10;
A 31 = (–1)3+1 
= –2; A 32 = (–1)3+2 
= –14; A 33 = (–1)3+3 
= 8.
Составим из них матрицу 
и 
.
Обратная матрица определяется формулой A –1 = (det A)–1|| Aij || T или 
.
Вычислим произведение
А –1 А = 
=
= 
=
= 
.
Для нахождения решений системы уравнений необходимо обратную матрицу А –1 умножить на вектор-столбец свободных членов В: Х = А –1 В
= 
= 
=
= 
= 
.
Ответ X = –1, Y = –1, Z = 1.
10. Исследовать системы уравнений на совместность и, в случае положительного ответа, решить их методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом.
a) 
; б) 
; в) 
.
11. Исследовать систему однородных уравнений на совместность и найти её решения.
.
Решение. Вычислим определитель основной матрицы
det A = 
= 
= 0 (3 строка есть сумма 1 и 2 строки).
Отсюда следует, что система уравнений совместная и неопределенная, rg A = 2, число свободных неизвестных (n – rg A) = (3 – 2) = 1.
Перейдем к равносильной системе 2 уравнений 
.
В качестве свободной неизвестной можно взять любую из неизвестных x, y, z.
Выберем z. Тогда имеем 
. Решим систему методом Крамера
= 
= 5, 
= 
= – z, = 
= –13 z, x = – z /5, y = 13 z /5.
Ответ: (– z /5; 13 z /5; z). Имеем бесконечное множество решений, т.к. свободная неизвестная z может принимать произвольные значения.
12. Исследовать системы однородных уравнений на совместность и найти их решения.
а) 
; б) 
; в) 
.
13. Найти решение системы уравнений 
.
Решение. det A = 
= 
= 2 
= 0, т.е. система уравнений неопределенная. Применяем метод Гаусса.
rg A = 2, rg(А \ В) = 3. Из неравенства rg A rg(А \ В) система уравнений несовместная и решения не имеет.
14. Найти решения систем уравнений
а) 
; б) 
; в) 
.
Типовой вариант контрольной работы по линейной алгебре
1. Даны матрицы:
А = 
, В = 
, С = 
, D = , F = 
, G =(2,4,6)
а) Вычислить сумму матриц А+В, 2 А –3 В, C + D; произведение матриц AB, BA, CF, CD,GF
б) Привести матрицы С, D к ступенчатому виду и определить их ранг.
в) Построить обратную матрицу С -1 . Проверить равенство С С -1= Е.
2. Решить систему уравнений методом Крамера, матричным методом и методом Гаусса
3x – y – z = -3
2x + 2y + 4z = 0
-x – 3y + z = 5
Поиск по сайту: