Системы линейных уравнений

В общем случае система n линейных уравнений для n неизвестных х_i имеет вид

. (8)

Из коэффициентов системы a_ik и свободных членов b_i построим основную матрицу системы (А) и расширенную матрицу (A\B)

, . (9)

Система называется однородной, если все b_i = 0.

Решением системы линейных алгебраических уравнений (8) (СЛАУ) называется совокупность из n чисел х_i, которые обращают ее в верные равенства.

Две системы уравнений называются равносильными, если все их решения совпадают. Система (8) переходит в равносильную при выполнении следующих преобразований: 1) уравнения меняются местами; 2) любое уравнение умножается на ; 3) к обеим частям одного уравнения прибавляются соответствующие части другого, умноженные на произвольное число.

Каждое из уравнений системы (8) накладывает определенное ограничение на возможные значения переменных х_i. В некоторых случаях эти ограничения могутпротиворечить друг другу или дублировать друг друга. В соответствии с этим все системы уравнений делятся на три типа:

а) совместные определенные – решение существует, причем, единственное,

б) совместные неопределенные – существует бесконечное множество решений,

в) несовместные – нет решений.

Тип системы определяется наличием линейной зависимости между ее уравнениями.

Определение. Система уравнений (8) линейно зависима, если хотя бы одно из уравнений можно представить как линейную комбинацию остальных уравнений системы.

Пример.

.

Здесь 3-е уравнение есть сумма 1-го и 2-го уравнения. Вычтем из 3-го уравнения 1-ое и 2-ое и получим нулевую строчку.

Для линейно зависимой системы уравнений всегда можно построить равносильную систему, в которой одно или несколько уравнений имеют нулевые коэффициенты. Тогда det A = 0, число уравнений меньше n и система оказывается недоопределенной. При этом, важно знать общее число линейно независимых строк.

Определение. Рангом матрицы А (rg A) называется максимальное число линейно-независимых строк матрицы. Остальные строки будут их линейными комбинациями.

Если вычислять миноры матрицы А, то обязательно найдется не равный нулю минор порядка rg A, а все миноры высшего порядка будут равны нулю.

Пример.

, , rg A = 1, rg B = 2.

Ранг матрицы не меняется при выполнении элементарных преобразований – сложении строк, предварительно умноженных на постоянное число. Для определения rg A удобно представить матрицу в треугольной форме. Тогда линейно зависимые строки станут нулевыми или пропорциональными друг другу

Пример.

rg A = 2.

Условие det A = 0 означает, что левые части каких-то двух уравнений системы равны или пропорциональны друг другу. Если и свободные члены этих уравнений сохраняют ту же пропорциональность, то имеем несколько полностью совпадающих уравнений. Система недоопределена. Если пропорциональность свободных членов другая, то уравнения оказываются несовместными, т.е. приводят к равенствам типа 2 = 3.

Теорема Кронеккера-Каппели. Система уравнений (8) совместна, если ранги основной и расширенной матриц совпадают: rg A = rg(A\B).

Однородные СЛАУ всегда совместны, т.к. дополнительный столбик из 0 не может изменить rg A. Условие det A 0 означает, что все уравнения системы линейно независимы, rg A = n, и система (8) имеет единственное решение.

Таким образом, для определения типа решаемой системы уравнений достаточно знать значение det A, rg A, rg(A\B).

Поиск по сайту: