Матрицы и определители

Основная задача линейной алгебры − решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Методы решения разнообразны и используют такие понятия, как матрица, определитель и другие. Познакомимся с ними.

Определение. Квадратной матрицей порядка n называется таблица чисел, состоящая из n строк и n столбцов

, (1)

где − элемент матрицы, индекс i − номер строки, индекс k − номер столбца. Элементы называются диагональными.

Определение. О пределителем или детерминантом квадратной матрицы называется число, составленное из элементов матрицы по определенному правилу.

Так, определитель матрицы второго порядка имеет вид

det = = a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a ₂₁. (2)

Определитель равен произведению диагональных элементов минус произведение элементов побочной диагонали.

Определитель матрицы третьего порядка равен

= a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ –

– a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁ – a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ – a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂. (3)

В сумму входят слагаемые типа a _{1 k}a _{2 k}a _{3 k}, в которых номера строк сохраняются (1, 2, 3), а номера столбцов (k ₁, k ₂, k ₃) переставляются всеми возможными способами. При вычислении определителя (3) удобно использовать мнемоническое правило

В общем случае определитель квадратной матрицы (1) порядка n равен

det A = ^Pa _{1 k}a _{2 k}a _{3 k}... a_nk, (4)

где сумма берется по всем перестановкам индексов (k ₁, k ₂,... k_n), а P – определяет четность перестановки.

Пример. (2, 1, 3) – нечетная перестановка, (2, 3, 1) – четная. Число слагаемых равно n! = 1 2 3... n.

Определение. Минором элемента a_ik определителя матрицы A называется определитель матрицы, полученный из А путем вычеркивания
i -ой строки и k -го столбца (М_ik), т.е. определитель порядка n – 1. Матрица А имеет n ² миноров.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента a_ik матрицы А называется соответствующий минор М_ik, умноженный на знаковый множитель

A_ik = (–1) ^{i + k}М_ik. (5)

Пример. Для определителя (3) имеем

A ₁₁ = (–1)^{1 + 1} M ₁₁ = ; A ₂₁ = (–1)^{1 + 2} M ₂₁ = –1 .

Свойства определителей

1⁰. Величина определителя не меняется при замене строк столбцами (операция транспонирования)

= ad – bc; = ad – bc.

2⁰. Перестановка местами двух любых строк (столбцов) меняет знак определителя

= bc – ad = –(ad – bc) = .

3⁰. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

= ab – ab = 0.

4⁰. Общий множитель элементов одной строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

= mad – mbc = m (ad – bc) = m .

5⁰. Прибавление элементов одной строки, умноженных на произвольное число, к элементам другой строки определителя не меняет

= (a + b) d – (c + d) b = + .

После такой процедуры определитель всегда можно представить как сумму исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми строчками, который равен нулю (свойство 3⁰).

Теорема разложения. Всякий определитель можно представить как сумму элементов любой строки или столбца, умноженных на соответствующие алгебраические дополнения

det A = A_ik. (6)

Пример. Разложим определитель третьего порядка по элементам первой cтроки

= a ₁₁ A ₁₁ + a ₁₂ A ₁₂ + a ₁₃ A ₁₃ =

= a ₁₂ – a ₁₂ + a ₁₃ .

Чем больше нулевых элементов в строке разложения, тем проще полученное выражение. Увеличить количество нулей можно путем преобразования матрицы, складывая строки или столбцы (свойство 5⁰).

Пример.

= = =

= a ₁₁ A ₁₁ – 0 A ₁₂ + 0 A ₁₃ = 1(–1)^{1 + 1} = 2.

Здесь из элементов 2-го столбца вычли элементы 1-го и из элементов
3-го столбца вычли удвоенные значения элементов 1-го столбца. В результате в 1-ой строке образовались два нуля. Затем разложили по этой строке.

С помощью такой процедуры всякий определитель можно представить в треугольной или ступенчатой форме, когда все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

Þ Þ =

= a ₃₁ A ₃₁ + a ₃₂ A ₃₂ + a ₃₃ A ₃₃ = –22 A ₃₃ = –22(–1)³⁺³ = –22.

Определение. Собственными значениями матрицы А называются её диагональные элементы (l₁, l₂,...,l _n) после представления матрицы в треугольной или диагональной форме. Процедура вычисления собственных значений называется диагонализацией матрицы.

Легко видеть, что det A равен произведению её собственных значений

det A = , (7)

т.е. после диагонализации матрицы её детерминант вычисляется тривиально.

В последнем примере l₁ = 1, l₂ = 1, l₃ = –22, т.е. кратность собственного значения 1 равна двум и det A = 1 1 (–22) = –22.

Поиск по сайту: