Формулы Крамера. Умножим 1-ое уравнение на алгебраическое дополнение А11, 2-ое на А21, 3-е на А31

Пусть в СЛАУ (8) n = 3

. (10)

Умножим 1-ое уравнение на алгебраическое дополнение А ₁₁, 2-ое на А ₂₁, 3-е на А ₃₁. Сложим все уравнения и получим

.

Каждая из четырех сумм является разложением определителя по первому столбцу от некоторой матрицы. 1-я сумма есть det A D, матрицы остальных определителей получаются из А путем замены элементов первого столбца, на элементы 2-го, 3-го столбца и на свободные члены. Т.к. во 2-ой и 3-ей матрицах содержаться одинаковые столбцы, то определители от них равны нулю и выражение упрощается

.

Аналогично получаются уравнения для остальных переменных.

Решение СЛАУ (8) в виде отношения двух определителей называется формулами Крамера.

Для случая трех уравнений при имеем x_i = (i = 1, 2, 3)

; ;

; . (11)

Из формул Крамера следует, что при det A 0 и b_i = 0 все х_i = 0, т.е. однородная определенная система (8) имеет только тривиальное решение. Совместные неопределенные решения появляются в однородной системе только при det A = 0 и содержат (n – rg A) свободных неизвестных.

Поиск по сайту: