Вывод общей формулы обратной матрицы

Чтобы найти вид нужной формулы, рассмотрим вначале решение системы из двух линейных уравнений для двух неизвестных:

Умножим первое уравнение системы на , а второе – на и сложим получившиеся уравнения. Результатом этих действий будет уравнение:

.

Теперь умножим первое уравнение на , а второе – на , после сложения получим: . Используя полученные равенства, выпишем формулы для нахождения неизвестных:

. (1)

а) Возьмем матрицу второго порядка . Обозначим обратную к ней: . Согласно определению обратной матрицы должно выполняться условие: .

Выполнив умножение в левой части и приравнивая соответствующие элементы матриц в левой и правой части, получим 2 системы для нахождения неизвестных элементов обратной матрицы:

Используя формулы (1), найдем решения указанных систем:

.

Назовем выражение, стоящее в знаменателях формул и составленное из элементов матрицы второго порядка, определителем второго порядка. Определитель кратко обозначается . Последнее обозначение идет от латинского слова детерминант – определитель. В развернутом виде определитель второго порядка записывают так: .

Чтобы вычислить определитель второго порядка, нужно из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Если в определителе вычеркнуть строку с номером и столбец с номером , то оставшаяся часть определителя называется минором . Взятый с определенным знаком минор имеет название алгебраического дополнения: . Из этого определения следует, что, если сумма номеров вычеркнутых строки и столбца – четное число, то алгебраическое дополнение совпадает с минором. Если же эта сумма – число нечетное, то алгебраическое дополнение противоположно минору по знаку.

Используя введенные обозначения и вынося за знак матрицы общий множитель всех элементов, формулу обратной матрицы второго порядка можем записать в следующем виде: .

б) Рассмотрим матрицу третьего порядка . Обозначим обратную к ней . Согласно определению:

.

Действуя аналогично пункту а), получим 3 системы для нахождения 9 неизвестных элементов обратной матрицы:

Найдем решение первой системы. Ко второму уравнению, умноженному на , прибавим первое, умноженное на ; к третьему уравнению, умноженному на , прибавим первое, умноженное на . После этих преобразований система примет вид:

В полученной системе можно выделить подсистему, в которой содержатся два уравнения для двух неизвестных. Применяя для ее решения соответствующие формулы, получим выражения для и .

.

Раскрыв скобки, приведя подобные слагаемые и сократив общий множитель в числителе и знаменателе, окончательно получим формулу для :

.

Аналогичным образом можно найти формулу для :

.

Подставив эти выражения в первое уравнение и проведя необходимые преобразования, получим формулу и для :

.

Обозначим одинаковое выражение в знаменателях, составленное из элементов матрицы третьего порядка, определителем третьего порядка, который в развернутом виде можно записать так:

.

Если формулу для вычисления определителей второго порядка запомнить легко, этого нельзя сказать про формулу для вычисления определителей третьего порядка. Для ее запоминания имеются специальные правила, одно из них – “правило треугольников”.

Произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, входят в определитель с тем знаком, который получится при умножении.

Произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали, входят в определитель с обратным знаком.

На рисунках элементы определителя обозначены точками.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

.

Обозначим значение определителя и найдем его, используя правило треугольников.

Можно также воспользоваться правилом Саррюса. Согласно этому правилу к определителю справа дописывают два первых столбца. Произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух линиях, ей параллельных, берут в определитель с тем знаком, который получается при умножении. Произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и двух линиях, ей параллельных, берут в определитель с противоположным знаком.

Пример. Вычислить определитель .

Припишем к данному определителю два первых столбца и вычислим его.

.

Проанализируем числители формул . Выражение представляет собой определитель , который получится, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец, т.е. . Соответственно,

;

.

Решая две оставшиеся системы аналогично и используя введенные обозначения, получим формулу обратной матрицы третьего порядка:

.

Сравнение двух выведенных формул позволяет, пользуясь индуктивным подходом, написать формулу обратной матрицы для квадратной матрицы произвольного порядка :

.

Из полученной формулы следует, что обратную матрицу можно найти только для невырожденных матриц, т.е. таких, у которых определитель не равен 0.

Для того, чтобы составить обратную матрицу, необходимо:

1) вычислить определитель матрицы;

2) если определитель отличен от 0, то найти алгебраические дополнения всех элементов;

3) поставив алгебраические дополнения на место элементов, составить матрицу и транспонировать ее;

4) разделить элементы транспонированной матрицы из алгебраических дополнений на величину определителя (если элементы матрицы не делятся нацело на определитель, то деление записывают в виде множителя перед матрицей).

Пример. Найти матрицу, обратную матрице .

1) Вычислим определитель .

2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

3) Составим матрицу из алгебраических дополнений :

.

и транспонируем ее:

.

3) Выпишем обратную матрицу:

.

Для проверки найдем произведение :

Поиск по сайту: