|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вопрос №8,9 Докажите формулы разложения ускорения по естественным осям координат. 9. Запишите формулы касательного и нормального ускорения точки и проведите их анализВектор скорости точки можно представить в виде В правой части этого равенства с течением времени изменяются оба множителя: и проекция вектора скорости на касательную vт, и направление единичного вектора t°. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим
dv dvx d t° ---- =----- - t° +vt — dt dt dt
Первое слагаемое представляет собой вектор, направленный по касательной. Чтобы определить второе слагаемое, будем рассматривать вектор t° как функцию дуговой координаты s. Тогда
d t° Вектор -------, входящий в равенство (3), всегда направлен в ds сторону вогнутости траектории точки и, как видно из рис. 2.13, лежит в соприкасающейся плоскости. Действительно, приращение вектора t° (см. рис. 2.13) Дл t° = t°1 - t° лежит в плоскости треугольника МАВ. Если
точка М1 —> М, эта плоскость, вращаясь вокруг неподвижного вектора t°, стремится к предельному положению, т.е. к соприкасающейся плоскости. Далее, дифференцируя тождество t°* t° = 1 по s, получим
а это есть условие перпендикулярности векторов сомножителей. Таким образом, рассматриваемый вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен вектору t°. Следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны, т.е. по направлению орта п°. Поэтому Из треугольника МАВ находим модуль этого вектора
Переходя в последнем равенстве к пределу при As—>0, найдем поэтому Тогда окончательно (6)
Подставляя найденное выражение вектора из (6) в равенство (2) и учитывая что , получим (7) Формула (7) представляет собой разложение ускорения точки М по ортам естественного трехгранника. Составляющие вектора ускорения по направлениям т° и п° соответственно равны (рис. 2.14) (8) Проекция ускорения на направление касательной (9) называется касательным, или тангенциальным ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль (10) называется нормальным ускорением. Так как ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Модуль ускорения, на основании формул (9) - (10), будет Угол между вектором а и главной нормалью можно определить так: Анализ формул (9) и (10) показывает, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное ускорение — изменение скорости по направлению. Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. Если vt и аt одного знака, движение называется ускоренным, если же vt и аt разных знаков - замедленным. При аt = 0 движение равномерное. Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении (р = бескон-ть), в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, когда скорость точки обращается в нуль. В заключение отметим, что модули тангенциального и нормального ускорений также можно определить и в случае задания движения точки координатным способом. В самом деле, вспоминая определения модулей скалярного и векторного произведений и представляя единичный вектор касательной, следующей формулой t°= v /|v| запишем Значения этих выражений определяются непосредственным дифференцированием закона движения точки, заданного координатным способом. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |