Сформулируйте и докажите теорему о сложении скоростей в сложном движении точки

Рассмотрим движение точки М относительно некоторого тела, с которым неизменно связана подвижная система координат Oxyz. Эта система в свою очередь движется по отношению к ус­ловно неподвижной системе O1X1y1Z1. Положение точки М в под­вижной системе координат определяется радиус-вектором р, в неподвижной - радиус-вектором г. Положение начала G подвиж­ной системы координат относительно неподвижной определяется радиус-вектором г0 (см. рис. 2.56). Векторы r, r0 и р связаны сле­дующим соотношением:

(1)

Разложим радиус-вектор р по ортам подвижной системы коорди­нат. В результате получим

(2)

Подчеркнем еше раз, что х, у, z — координаты точки М в подвижной системе Oxyz, a i, j, к - орты этой системы, которые являются функциями времени.

Абсолютная скорость точки М получается, как обычно, дифференцированием по времени радиус-вектора r, определяемо­го формулой (2). В результате дифференцирования получим

(3)

Проанализируем теперь получившееся равенство (3). Если бы х, у и z были постоянными, мы получили бы скорость точки m, неизменно связанную с подвижной системой координат, в которой в данный момент находится рассматриваемая точка М, т.е. переносную скорость. Из определения переносной скорости при х, у, z = const следует, что Va = Ve. Но из формулы (3) в этом случае (т.е. при х, у, z = const) получим

(4)

С другой стороны, для скоростей точек в общем случае движения свободного твердого тела мы получили следующее выражение:

(5)

где Vo - абсолютная скорость начала О подвижной системы ко­ординат, ф - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат.

Далее, если бы i,j, k r0 были постоянными, т.е. система координат Oxyz стала бы неподвижной, то по определению отно­сительной скорости Va = Vr но из формулы (4), в этом случае мы получили бы

(6)

Поэтому формула (3) с учетом (4) - (6) приводит к теореме о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геомет­рической сумме переносной и относительной скоростей этой точки:

(7)

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что абсолютная скорость точки по величине и направлению равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах перенос­ной и относительной скоростей.

Поиск по сайту: