Сформулируйте и докажите теоремы о перемещениях плоской фигуры

Теорема 1. Всякое перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществлять посредством поступательного перемещения вместе с произвольной точкой (полюсом) и враща­тельного перемещения вокруг этого полюса.

Пусть плоская фигура (S) за некоторый промежуток вре­мени переместилась из положения I в положение II так, что отре­зок АВ занял положение А1В1 (рис. 2.26). Если за полюс принять точку А, то это перемещение можно совершить следующим образом. Сначала сообщим пло­ской фигуре поступательное пе­ремещение, которое переводит полюс А в положение А1, при этом отрезок АВ займет положе­ние А1В’1 и все точки плоской фигуры получат перемещения, геометрически равные АА1, а затем сообщим плоской фигуре вращение вокруг точки А1 которое повернет отрезок А1В1 на угол В’1А1В1 в положение А1В1.

Легко убедиться в том, что, выбирая различные точки плоской фигуры за полюсы при перемещении ее из одного поло­жения в другое, мы изменяем только поступательное перемеще­ние, угол же поворота и направление вращательного перемеще­ния плоской фигуры от выбора полюса не зависят.

В самом деле, тот же переход фигуры (S) из положения I в положение II можно осуществить, приняв за полюс точку В и сообщив плоской фигуре поступательное перемещение, которое переводит полюс В в положение В1, при этом отрезок АВ займет положение А1В1, и все точки плоской фигуры получат перемеще­ния, геометрически равные ВВ1 и отличные от АА1, а затем, по­вернув плоскую фигуру вокруг точки В1 на угол А’1В1А1, в поло­жение В1А1. По свойству поступательного перемещения отрезки А1В’ и А’1В1 параллельны отрезку АВ. Следовательно, А1В1'||А’1В1 и ZB’1A1B1=ZA’1B1A1=ф. Кроме этого, поворот вокруг точек А1 и В1 в том и другом случаях происходит в одну и ту же сторону.

Поиск по сайту: