Дайте определение каждой из осей естественного координатного трехгранника и радиуса кривизны траектории в данной точке

Рассмотрим пространственную кривую. Предельное по­ложение секущей, проходящей через точки М и M1 кривой, когда точка M1 стремится к точке М, называется касательной к кри­вой в данной точке М. Перпендикуляр к касательной в точке М называется нормалью к кривой в этой точке. Геометрическое место нормалей к данной кривой в данной точке называется нормальной плоскостью. Линия пересечения нормальной и сопри­касающейся плоскостей называется главной нормалью. Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью.

Обозначим единичные векторы: касательной через т°, главной нормали n° и бинормали b°. Через эти векторы проходят плоскости: (т°, n0) - соприкасающаяся, (n0, Ь°) - нормальная и (b°, т°) - спрямляющая. Три взаимно перпендикулярных направ­ления, которые определяются векторами т°, n° и b°, образуют ес­тественную систему координат, или так называемый естествен­ный, или подвижный, трехгранник. Направление т°, n0 и b° определяются так же как направление координатных осей, т.е. по

правой системе, при этом единичный вектор главной нормали всегда направлен в сторону вогнутости кривой (рис. 2.9).

Проведем теперь в двух точках кривой М и М1 единич­ные векторы касательных т° и т1°.Угол между этими касательны­ми называется углом смежности. Обозначим этот угол через дл.8, а длину дуги ММ1 через дл,s (рис. 2.10). Предел отношения дл.8 и дл.s при дл.s-*0, т.е. (1)называется кривизной кривой в данной точке М.

Найдем кривизну окружности радиу­са R. Возьмем на окружности дугу АВ = дл.s и проведем в точках А и В касательные к ок­ружности (рис. 2. 11). Тогда(2)

Отсюда следует, что окружность представляет собой кривую линию постоянной кривизны, равной обратной величине ее радиуса. Кривизна произвольной кривой вообще не­постоянна. Если через три точки М, М1 и М2 кривой провести ок­ружность, то в пределе при приближении точек М1 и M2 к М по­лучим предельную окружность, лежащую в соприкасающейся плоскости, которая называется кругом кривизны (рис. 2.12).

Центркруга кривизны называется центром кривизны, а радиус этого круга - радиусом кривизны кривой в точке М. Вели­чина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны данной кривой е данной точке.Обозначая радиус кривизны буквой р, получим

(3)

Как следует из формулы (2), радиус кривизны окружно­сти равен ее радиусу. Очевидно, что кривизна прямой линии рав­на нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности.

Поиск по сайту: