Вопрос №26. Докажите формулу для определения скоростей точек тела, движущегося около неподвижной точки

Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, называют сферическим движением, так как все точки тела движутся по поверхностям сфер, общий центр которых совпадает с неподвижной точкой. Рассмотрим сначала вопрос о задании уравнения, или закона движения тела вокруг неподвижной точки.

Предположим, что с телом неизменно связана система координат Oxyz с началом в неподвижной точке О. Положение этой системы будем определять относительно неподвижной сис­темы координат Ox1y1z1 с началом в этой же точке О. В теорети­ческой механике положение подвижной системы координат от­носительно неподвижной, как правило, определяется при помощи углов Эйлера, которые вводятся следующим образом (рис. 2.47).

Рассмотрим прямую ОК пересечения плоскостей Ох1y1 и Оху. Эта прямая называется линией узлов. Выберем на линии уз­лов положительное направление так, чтобы кратчайший переход от оси Oz1 к оси Oz определялся бы в положительном направле­нии (т.е. против хода часовой стрелки), если смотреть с положи­тельного направления линии узлов.

Угол между неподвижной осью Ох1 и линией узлов ОК обозначают через ᴪ и называют углом прецессии. Угол между линией узлов OK и подвижной осью Ох обозначают через ф и

называют углом собственного вращения. Угол между плоско­стями Ох1у1 и Оху, или угол между неподвижной осью Oz1 и подвижной осью Oz, обозначают через ᶿ и называют углом ну­тации.

Посредством трех последовательных независимых пово­ротов тела: на угол ᴪ вокруг оси Oz1, затем на угол ᶿ вокруг оси ОК и, наконец, на угол ф вокруг оси Oz - можно подвижную сис­тему координат Oxyz, первоначально совмещенную с неподвиж­ной, перевести в положение, указанное на рис. 2.47.

Таким образом, положение тела по отношению к осям Ох1у1 полностью определяется тремя независимыми углами Эй­лера, т.е. тело, совершающее сферическое движение, имеет три степени свободы. Если твердое тело совершает движение вокруг непод­вижной точки, то углы Эйлера непрерывно изменяются, т.е. яв­ляются функциями времени: ᴪ = ᴪ(t), ᶿ = ᶿ (t), ф = Ф(t) (1)

Эти уравнения называются уравнениями движения твер­дого тела вокруг неподвижной точки, или законом его движения.

Поиск по сайту: