Вывести формулу для определения скорости точки при естественном способе задания её движения

Определим скорость точки, предполагая, что ее движе­ние задано естественным способом. Поэтому будем полагать, что известны траектория движения и закон движения точки по траек­тории s = s(t) (рис. 2.6). Каждой точке траектории соответствует определенный радиус-вектор r (t) Так как положение каждой точки траектории определяется дуговой координатой S, то ради­ус-вектор r можно рассматривать как сложную функцию времени t. Тогда

(1) Найдем теперь вектор скорости V точки:

(2)

Известно, что Далее,

так как направлен пределе

(при дел. S-»0) совпадает с касательной к

траектории в точке М, то вектор есть

единичный вектор касательной к траектории (ее орт), направлен­ный в сторону возрастания криволинейной координаты s. Обо­значая орт касательной Т°, запишем формулу (2) в виде

(3)

Эта формула определяет вектор скорости при естествен­ном способе задания движения точки Умножая скалярно обе части равенства (3) на т° и учитывая, что получим

(4)

т.е. проекция вектора скорости точки на направление касатель­ной к траектории равна первой производной по времени от кри­волинейной координаты s пo времени. Тогда формулу (3) можно записать так:

(5)

Из формулы(5) следует что модуль скорости V=|Vt|.

Если Vt > 0, то точка движется в положительном направлении отсчета расстояний и VT=V Если же Vт < 0, точка движется в от­рицательном направлении и Vт = — V. Таким образом, модуль век­тора скорости IVI (или V) точки равен модулю ее проекции на направление касательной

(6)

В качестве примера применения формулы (6) рассмотрим скорость точки М при ее движении по окружности радиуса R (рис. 2.7). Скорость точки М в случае ее движения в положительном направлении отсчета расстояний будет иметь численное значение

(7)

так как Величина (8)

называется угловой скоростью вращения радиуса ОМ = R. Таким

образом, при движении по окружности (9)

Направлена скорость по касательной к окружности, следователь­но, перпендикулярно радиусу ОМ.

Поиск по сайту: