Вопрос №1. Опишите способы задания движения точки и связь между ними. Как найти уравнение траектории точки?

Движение точки в пространстве определяется тремя ос­новными способами: векторным, координатным и естествен­ным. Векторный способ задания движения применяется при тео­ретических исследованиях, координатный и естественный упот­ребляются преимущественно при решении задач.

Векторный способ задания движения точки

Выберем некоторый неподвижный центр О и проведем из этого центра в точку М, движение которой изучаем, радиус-вектор r (рис. 2.1). При движении точки М радиус-вектор r изме­няется по величине и по направлению. Каждому моменту време­ни t соответствует определенное значение r

Следовательно, радиус-вектор г однозначно определяет, положение точки М. Таким образом, чтобы определить "движение точки, нужно задать ее радиус-вектор в виде однозначной и не­прерывной функции времени:

r=r(t);

Уравнение (1) определяет положение точки М в про­странстве в произвольный момент времени и, следовательно, уравнение (1) определяет закон движения точки М. При вектор­ном способе задании движения траекторией точки будет годо­граф радиус-вектора r.

Координатный способ задания движения точки

Рассмотрим прямоугольную декартову систему коорди­нат. Положение движущейся точки М определяется координата­ми х, у, z (рис. 2.2). Если координаты точки заданы как однознач­ные функции времени x = x(t), y=y(t), z = z(t), (2)

то положение точки М в пространстве известно в каждый момент времени. Уравнения (2) определяют закон движения точки и на­зываются уравнениями ее движения. С математической точки зрения уравнения (2) представляют собой параметрические урав­нения траектории точки. Чтобы найти уравнение траектории в форме зависимостей между координатами точки М, нужно из уравнений (2) исключить время, т.е. параметр t. Решая, например, последнее уравнение из (2) относительно t, найдем t = ф (z). Подставляя это соотношение в первые два уравнения, получим х = х[ф(z)]; y=у[ф(z)]-

Эти уравнения являются уравнениями поверхностей, пе­ресекающихся вдоль траектории точки.

Если точка движется в плоскости Оху, ее движение опре­деляется двумя уравнениями: x = x(t), y = y(t).

Если же точка движется по прямой, ее положение можно опреде­лить одной координатой, например: х = x(t).

Кроме декартовой системы координат, употребляются и другие координатные системы. Например, на плоскости можно пользоваться полярной системой координат (р, ф). В этих коор­динатах уравнения движения точки имеют вид: р = р(t), Ф = ф(t)

где р - полярный радиус; ф - угол между полярной осью и по­лярным радиусом.

Между координатным и векторным способами задания движения точки существует связь. Это видно, если записать раз­ложение радиус-вектора r по ортам i, j, k декартовой системы координат: r = x(t)i + y(t)j + z(t)k. (7)

Равенство (7) устанавливает зависимость радиус-вектора точки М от времени и решает вопрос о переходе от координатно­го способа задания движения точки к векторному.

Естественный способ задания движения точки

Этот способ задания движения точки применяется в том случае, когда траектория точки, относительно выбранной системы отсчета, известна. Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку А и примем ее за начало отсчета (рис. 2.3).

Далее, рассматривая траекторию как криволинейную координатную ось, сообщим ей ориентацию, т.е. поло­жительное направление отсчета рас­стояний s = AM. Тогда положение точки М на траектории будет одно­значно определяться криволинейной координатной s, равной расстоянию от точки А до движущейся точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точки М криво­линейная координата s будет изменяться с течением времени, т. е. S = s(t). (8)

Зная уравнение (8), можно определить положение точки в каж­дый момент времени. Уравнение (8) называется уравнением дви­жения, или законом движения вдоль заданной траектории.

Рассмотрим связь между естественным и координатным способами задания движения точки. Для перехода от координат­ного способа задания движения к естественному необходимо:

1) определить уравнение траектории точки,

2) положение точки в начальный момент времени и

3) закон движения точки по ее траектории.

Как определить уравнение траектории, нам уже известно. Для определения положения движущейся точки в начальный мо­мент времени (t = 0) необходимо в уравнения (2) подставить / = 0. Для определения закона движения точки по траектории восполь­зуемся известной из математического анализа формулой длины дуги кривой

(9)

В теоретической механике дифференцирование по вре­мени принято обозначать точкой над дифференцируемой функ­цией. Перепишем формулу (9) в этих обозначениях. s = ± (10)

Знак плюс в формулах (9), (10) берется в том случае, ко­гда точка М движется в сторону с положительного отсчета кри­волинейной координаты Если направление движения точки по траектории изменяется, то знак корня может быть различным для различных интервалов времени. Это изменение знака может быть при колебательном движении точки.

Поиск по сайту: