Докажите формулу распределения скоростей точек плоской фигуры

Выше было показано, что плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при кото­ром все точки тела движутся со скоростью полюса Va, и из вра­щательного движения вокруг полюса. Покажем теперь, что ско­рость любой другой точки В тела геометрически складывается из скоростей, которые она получает в каждом из этих движений.

Пусть плоская фигура движется относительно непод­вижной системы координат Оху. В этой системе положения по­люса А и произвольной точки B определяются соответственно радиус-векторами ra и rb. Между этими векторами ra и rb и век­тором р = АВ (рис. 2.29) в любой момент времени имеет место следующее соотношение:

(1)Вектор р = AB определяет положение произвольной теч­ки В относительно системы Ах1у1 перемещающейся вместе с полюсом А поступательно. Подчеркнем еще раз, что движение се­чения по отношению к осям Ах1У1 представляет собой вращение вокруг полюса А. Дифференцируя обе части равенства (1) по времени, по­лучим (2) В полученном равенстве (2) . Что же

касается , то это - скорость, которую точка В получает при вращении вокруг полюса A. Обозначим эту скорость через

(3)Вектор р = АВ есть постоянный по модулю вектор, из­меняющийся при движении фигуры только по направлению. Для него справедлива формула (а) п. 2.16, т.е. (4)Тогда формула распределения скоростей примет вид

5)

(6)

Следовательно, скорость Vb любой точки плоской фигу­ры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости VA другой, произвольно выбранной и принятой за плюс, точки А и скорости Vba точки В в ее вращении вме­сте с плоской фигурой вокруг этого полюса. Вектор Vba направ­лен перпендикулярно АВ в сторону вращения фигуры, а по моду­лю эта скорость определяется так:

(7)

Таким образом, определив вращательную скорость Vba точки В вокруг полюса А и зная скорость VA этого полюса, мы можем найти искомую скорость Vb точки В как диагональ парал­лелограмма, построенного на скоростях VA и VBa (рис. 2.30).

Поиск по сайту: