Вопрос № 16 , 17

Вывести векторную формулу для скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Вывести векторные формулы для ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси и провести их анализ

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг непод­вижной оси Oz с угловой скоростью Определим скорость произвольной точки М этого тела. Введем прямоугольную систему координат с началом на оси вращения и неизменно связанную с те­лом (рис. 2.22).В этом случае

(1)

Здесь следует заметить, что в разло­жении (1) х, у, z и вектор k постоянны, т.е. не зависят от времени, a i и j зависят от времени, так как вращаются вместе с телом.

Тогда для скорости точки М имеем(2)

Производные от единичных векторов, входящие в формулу (2), есть скорости концов этих векторов. Например, при ф > О вектор скорости конца i направлен парал­лельно j в положительном направлении оси Оу, а вектор скорости

конца j направлен параллельно i в отрицательном направлении оси Ох. Модуль каждой из этих скоростей равен \ф\.

Тогда

Далее, учитывая, что j =k*x, a -i =k * j, получим

(3)

Подставляя формулы (3) в равенство (2) и используя то,

что , найдем

(4)

Назовем вектор фк вектором угловой скорости со, тогда

(5)

Как видно из равенства (5), вектор угловой скорости те­ла направлен вдоль оси вращения так, чтобы наблюдатель, смотрящий с его конца, видел вращение тела против хода часо­вой стрелки.

Вектор ф можно расположить в любом месте оси враще­ния, т.е. ф — скользящий аксиальный вектор.

Перепишем теперь формулу (4) с учетом (5), тогда

(6)

Вектор скорости любой точки тела, вращающегося во­круг неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, проведен­ный из произвольного центра, взятого на оси вращения. Формула (6) называется формулой Эйлера.

Поиск по сайту: