Метод Гаусса. Основная идея: путем элементарных преобразований представить расширенную матрицу (А\В) системы уравнений (8) в треугольной форме

Основная идея: путем элементарных преобразований представить расширенную матрицу (А\В) системы уравнений (8) в треугольной форме, когда все элементы ниже главной диагонали обращены в нуль. В итоге получаем отдельные уравнения для каждого х_i, которые легко решаются.

, (12)

где a` <sub>11</sub> 0 и a`_ik – значения переопределенных коэффициентов. Нули первого столбца получаются после последовательного умножения первого уравнения из (8) на – a ₂₁ / a ₁₁, – a ₃₁ / a ₁₁,..., – a_{n 1} / a ₁₁ и прибавления его к 2, 3,..., n уравнению. Аналогично получаются остальные нули. Нижняя строка матрицы определяет уравнение

a`<sub>nn</sub>x<sub>n</sub> = b`_n. (13)

Возможны три случая:

1. a`<sub>nn</sub> 0, тогда решение существует и единственно: х<sub>n</sub> = b`_n / a`_nn.

2. a`<sub>nn</sub> = 0и 0 х<sub>n</sub> = b`_n 0, система не совместна, решений нет.

3. a`<sub>nn</sub> = 0 и 0 х<sub>n</sub> = b`_n = 0, система совместна, бесконечное множество решений.

После решения уравнения (13) переходим к вышестоящему уравнению, заменяем в нем х_n на полученное число и приходим к линейному уравнению для х_{n – 1}, решаем его и делаем переход к следующему уравнению и т.д.

Пример.

x – 5 y + 2 z = 6 1-ю строку умножим на –3 и прибавим ко 2-ой

3 x – y – z = –3 1-ю строку умножим на 2 и прибавим к 3-ей

–2 x + 2 y + 3 z = 3 2-ю строку умножим на 4 и прибавим к 3-ей

3-е уравнение: 3 z = 3 z = 1

2-е уравнение: 2 y – z = –3 2 y – 1 = –3 y = –1

1-е уравнение: x – 5 y + 2 z = 6 x + 5 + 2 = 6 x = –1

Поиск по сайту: