Определение. Примеры линейных пространств

Лекция 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1.1. Определение. Примеры линейных пространств.

1.2. Линейная зависимость и независимость векторов.

1.3. Понятие базиса пространства.

Определение. Примеры линейных пространств.

Что такое линейность, линейное свойство?

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений:

. (1.1)

Ее решение – набор чисел. Пусть известно еще одно ее решение: . Тогда, как известно решениями этой системы будут сумма приведенных решений и произведение любого из них на число:

и .

Поэтому на совокупности всех решений системы (1.1) можно ввести операции сложения и умножения на числа, которые не выводят за ее пределы.

Аналогичный вывод можно сделать и для совокупности решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка

.

Можно привести еще один пример: совокупность всех свободных векторов. Известно, что их можно складывать и умножать на вещественные числа.

Все такие и подобные им совокупности называются линейными.

Определение. Линейным пространством называется совокупность (множество) элементов (объектов) , в котором задано правило, ставящее в соответствие каждым двум элементам некоторый третий элемент, называемый их суммой: , и указано правило, ставящее в соответствие каждому элементу и каждому числу некоторый новый элемент этой же совокупности, называемый их произведением: .

При этом выполняются следующие условия (аксиомы):

1) – коммутативности;

2) – ассоциативности;

3) существования в пространстве нейтрального (нулевого) элемента , от прибавления которого никакой вектор не изменяется:

;

4) существования в пространстве для каждого элемента элемента , противоположного ему, такого, что в сумме они дают нулевой элемент :

;

5) ;

6) – ассоциативность относительно умножения на число;

7) – дистрибутивность относительно сложения чисел;

8) – дистрибутивность относительно сложения элементов.

Линейное пространство называется векторным пространством. Элементы векторного пространства называются векторами.

Если действие умножения на числа определено только на множестве вещественных чисел , то векторное пространство называется вещественным; если – на множестве всех комплексных чисел , то – комплексным векторным пространством.

Примеры линейных пространств:

1. Совокупность многочленов всех степеней с комплексными коеффициентами: образует линейное пространство. -элементом здесь является многочлен, у которого все коеффициенты нуль; противоположным элементом является многочлен, у которого все коэффициенты те же, что у исходного, но с противоположным знаком. Легко проверить выполнение и всех остальных аксиом.

2. Легко убедиться, что совокупность многочленов, степени , также является линейным пространством. Однако совокупность многочленов степени уже не является линейным пространством. Сумма таких многочленов может вывести за пределы этого множества; оно не содержит -элемента.

3. Совокупность всех непрерывных комплекснозначных функций на , как легко видеть, является линейным пространством. Роль -элемента здесь выполняет функция ; роль противоположного элемента играет функция . Это пространство обозначается .

4. Совокупность всех раз непрерывно дифференцируемых функций также является линейным пространством.

5. Совокупность упорядоченных последовательностей чисел (вещественных или комплексных) вида: , . Она является -мерным линейным пространством, которое называется арифметическим пространство . Эти последовательности чисел являются векторами, сами числа называются их координатами. Сумма и произведение вектора на число определяют так:

, ;

Роль нулевого вектора (элемента) выполняет последовательность, состоящая из нулей.

Из аксиом вытекают следствия:

1. единственность -элемента.

2. единственность противоположного элемента.

3. умножение любого вектора на число нуль дает -элемент.

4. умножение любого вектора на число дает противоположный элемент.

Доказательство 3-го следствия:

; ;

; ; ; .

Остальные свойства доказать самостоятельно!

Из аксиом и доказанных следствий из них следуют правила операций над векторами линейного пространства, такие же как в обычной алгебре.

Поиск по сайту: