Понятие базиса пространства

Рассмотрим линейное векторное пространство .

Определение. Совокупность линейно независимых векторов называется базисом пространства , если любой вектор является их линейной комбинацией (линейно выражается через них):

. (1.2)

Эти векторы называются базисными векторами. Если такой совокупности векторов нет – базиса нет.

Теорема. Представление вектора через базис единствено.

Доказательство. Применим метод доказательства от противного.

Пусть вектор кроме разложения (1.2) в базисе имеет какое-то другое разложение в этом же базисе:

. (1.3)

Вычтем почленно равенство (1.2) из выражения (1.3):

.

Из линейной независимости базисных векторов следует равенство нулю всех коэффициентов последней линейной комбинации, равной нулю: . ЧТД.

Числа называются координатами вектора в данном базисе.

При сложении векторов и их координаты в некотором базисе складываются, при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число (это прямо следует из аксиоматики):

;

.

Следовательно, линейные операции над векторами сводятся к таким же действиям над их координатами.

Примеры базисов:

1) В -мерном арифметическом пространстве векторы ; ;…; являются базисом, т.к.

.

2) В 3-мерном пространстве обычных свободных векторов базисом могут служить любые 3 некомпланарные векторы , т.к. из векторной алгебры известно, что любой вектор можно разложить по этой тройке векторов:

.

3) В пространстве всех многочленов степени на всей оси базисом являются степенные функции: 1, , ,…, .

Поиск по сайту: