 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Линейная зависимость и независимость векторов
Возьмем в линейном пространстве 
векторов 
, 
,…, 
и столько же чисел: 
, 
,…, 
. Построим из них новый вектор 
, который называется их линейной комбинацией, при этом числа 
называются коэффициентами этой линейной комбинаци. Очевидно, что если все коэффициенты линейной комбинации векторов равны нулю, то и сама эта линейная комбинация равна нулю. Ее называют нулевая линейная комбинация.
Определение. Если для данных векторов существует такая ненулевая линейная комбинация (хотя бы один из ее коэффициентов 
), равная нулевому вектору, то совокупность этих векторов называется линейно зависимой.
Если такой ненулевой линейной комбинации, равной нулю, не существует, эти векторов называется линейно независимыми.
Следствия:
1. Если среди векторов данной совокупности один – нулевой, то она является линейно зависимой.
2. Если некоторая подсистема совокупности векторов линейно зависима, то и вся совокупность – линейно зависима.
Теорема. Для того, чтобы совокупность векторов , ,…, была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных. 
Доказательство самостоятельно!
Примеры:
1. Рассмотрим степенные функции 1, 
, 
,…, 
на сегменте 
. Покажем, что они линейно независимы. Составим их линейную комбинацию и приравняем ее нулю тождественно:
.
Из основной теоремы алгебры следует, что стоящий слева многочлен имеет не более 
вещественных корней (в комплексной плоскости точно ). Тождественно быть равным нулю в бесконечном множестве точек сегмента это многочлен может быть лишь в случае, когда все его коэффициенты равны нулю, что означает линейную независимость рассматриваемых степенных функций.
2. Рассмотрим функции 
, 
и 1 на всей оси (
). Их линейная зависимость следует из основного тригонометрического тождества: 
, которое является их ненулевой линейной комбинацией, равной нулю.
3. Рассмотрим -мерное арифметическое пространство 
, векторов в нем: 
; 
;…; 
. Докажем, что они – линейно независимы. Составим их линейную комбинацию и приравняем ее нулю:
. ЧТД.
Поиск по сайту: