Кинематика точки

2.1.1. Основные понятия кинематики

Раздел механики, занимающийся изучением движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, называется ки­нематикой.

Движение - основная форма существования всего матери­ального мира, покой и равновесие - частные слу­чаи.

Всякое движение, и механическое в том числе, происходит в пространстве и во времени.

Все тела состоят из материальных точек. Чтобы получить правильное представление о движении тел, начинать изучение нужно с движения точки. Перемещение точки в пространстве выражается в метрах, а также в дольных (см, мм) или кратных (км) единицах длины, время - в секундах. В практике или жизненных ситуациях время часто выражают в минутах или часах. Отсчет времени при рассмотрении того или иного движения точки ведут от определенно­го, заранее обусловленного начального момента (t = 0).

Геометрическое место положений движущейся точки в рассматри­ваемой системе отсчета называется траекторией. По виду траектории движение точки делится на прямолинейное и криволиней­ное. Траектория точки может быть определена и задана заранее. Так, например, траектории искусственных спутников Земли и меж­планетных станций вычисляют заранее, или если принять движущиеся по городу автобусы за материальные точки, то их траектории (маршруты) также известны. В подобных случаях положение точки в каждый момент времени определяется расстоянием (дуговой коорди­натой) S, т.е. длиной участка траектории, отсчитанной от неко­торой ее неподвижной точки, принятой за начало отсчета. Отсчет расстояний от начала траектории можно вести в обе стороны, по­этому отсчет в одну какую-либо сторону условно принимают за по­ложительный, а в противоположную - за отрицательный, т.е. рас­стояние S - величина алгебраическая. Она может быть положитель­ной (S > 0) или отрицательной (S<0).

При движении точка за определенный промежуток времени прохо­дит некоторый путь L, который измеряется вдоль траектории в направлении движения.

.

Если точка стала двигаться не из начала отсчета 0, а из поло­жения, находящегося на начальном расстоянии S_o то

Векторная величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью.

Скорость точки в любой момент ее движения направлена по каса­тельной к траектории.

Отметим, что это векторное равенство характеризует лишь поло­жение , а модуль средней скорости за время

где - путь, пройденный точкой за время .

Модуль средней скорости равен частному от деления пройденного пути на время, в течение которого этот путь пройден.

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения направ­ления и числового значения скорости, называется ускорением.

При равномерном движении по криволинейной траектории точка тоже имеет ускорение, так как и в этом случае изменяется направ­ление скорости.

За единицу ускорения принимают обычно .

2.1.2. Способы задания движения точки

Существует три способа: естественный, координатный, вектор­ный.

Естественный способ задания дви­жения точки. Если кроме траектории, на которой отмече­но начало отсчета 0, задана зависимость

между расстоянием S и временем t, это уравнение называется за­коном движения точки по заданной траектории.

Пример:

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением . Тогда в момент времени , т.е. точка находится в начале отсчета 0; в момент времени точка находится на расстоянии ; в момент времени

точка находится на расстоянии от начала отсчета 0.

Координатный способ задания дви­жения точки. Когда траектория точки заранее не извест­на, положение точки в пространстве определяется тремя координа­тами: абсциссой X, ординатой У и аппликатой Z.

или , исключив время.

Эти уравнения выражают закон движения точки в прямоугольной системе координат (OXYZ).

В частном случае, если точка движется в плоскости, закон дви­жения точки выражается двумя уравнениями:

или .

Например. Движение точки в плоской системе координат задано уравнениями X = 2t и У=3t (X и У - см, t - с). Тогда в момент времени и у_о = 0, т.е. точка находится в начале координат; в момент времени координаты точки , ; в момент времени координаты точки ,

и т.д.

Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки.

Например, исключив время t из заданных выше уравнений X = 2t и У = 3t,, получим уравнение траектории ЗХ - 2У = 0. Как видим, в этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат.

2.1.3. Определение скорости точки при естественном способе задания ее движения

Пусть движение точки А по заданной траектории происходит со­гласно уравнению , требуется определить скорость точки в момент времени t

t - положение точки А;

- положение точки A₁

- путь .

За промежуток времени точка прошла путь ,

значение средней скорости на этом пути

,

но оно отличается от значения скорости в момент времени t. Скорость в заданный момент t

,

т.е. значение скорости точки, движение которой задано естествен­ным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени.

Направление скорости, как отмечалось выше, известно заранее.

2.1.4. Определение ускорения точки при естественном способе задания ее движения

Вектор - ускорение точки в данный момент - есть геометри­ческая сумма касательного и нормального ускорений:

.

Вектор в любой момент времени направлен по касательной, поэтому вектор называется касательным, или тангенциальным ускорением. Модуль каса­тельного ускорения

равный производной от скорости в данный момент по времени или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризу­ет быстроту изменения значения скорости.

Доказано, что вектор в любой момент времени перпендикуля­рен касательной, поэтому он называется нормальным ускорением.

.

Значит, модуль нормального ускорения пропорционален второй степени модуля скорости в данный момент, обратно пропорционален радиусу кривизны траектории в данной точке и характеризует быст­роту изменения направления скорости.

Модуль ускорения

,

а направление a (угол ) находим с помощью тригоно­метрических функций по одной из следующих формул:

.

Если векторы и направлены в одну и ту же сторону (a), то движение точки называется ускоренным. При этом зна­чения и имеют одинаковые знаки ( или ). Если же векторы и направлены в противоположные стороны (), то движение точки называется замедленным. В этом случае знаки и разные ( или ).

2.1.5. Частные случаи движения точки

1. Прямолинейное движение. Если = 0, то точка движется прямолинейно, так как при на­правление скорости остается неизменным.

2. Равномерное движение. При уравнение равномерного движения

При начальном расстоянии S₀ = 0 т.е. точка в момент начала движения находится в начале отсчета расстояний, уравнение равно­мерного движения упрощается: S = Vt.

Поиск по сайту: