Плоская система произвольно расположенных сил

(ПСПРС)

1.4.1. Приведение силы к точке

Теорема

о параллельном переносе силы в любую

заданную или выбранную точку

Пусть дана сила , приложенная к точке А твердого тела, и ее требуется перенести в точку 0. Приложим к телу в точке 0 уравно­вешенную систему сил , параллельных и равных ей по мо­дулю (т.е. ). Теперь, кроме силы , приложенной к точке 0, образовались пара сил с моментом и момент данной силы относительно точки 0: т.е. .

Таким образом, всякую силу , приложенную к телу в точке А, можно переносить параллельно линии действия в любую точку О, присоединив пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки ее приложения.

Операция такого переноса силы называется приведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара с моментом -присоединенной парой.

Операция приведения силы к точке имеет глубокий физический смысл.

1.4.2. Приведение к точке плоской системы

произвольно расположенных сил

Пусть задана система четырех сил и

Выберем произвольную точку 0 - пентр приведения - и приведем к нему силу , т.е. перенесем силу в точку 0, присоединим пару сил с моментом

(на рисунке присоединенные пэры изображены круговыми стрелками, направленными в сторону поворота силами и соответствующих плеч )

Затем приведем к точке 0 силу . Перенесем ее в эту точку и присоединим пару с моментом . Так же поступим с остальными силами и , присоединив пары с моментами и . Как видно из рисунка, в результате по­следовательного приведения заданных сил к точке образовались система сходящихся сил и система присоединенных пар с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки (центра) при­ведения.

С помощью силового многоугольника находим силу , эквива­лентную системе приведенных сил. Сложив алгебраические моменты присоединенных пар, найдем момент одной эквивалентной им пары:

или, так как моменты присоединенных пар равны моментам данных

сил относительно пентра приведения,

.

Главный вектор системы: .

Главный момент системы:

Произвольная плоская система сил эквивалентна одной силе –

главному вектору - и одной паре, момент которой равен главному моменту.

Допустим, что, приведя плоскую систему сил к_точке, мы полу­чили главный вектор и пару сил с моментом .

Представим главный момент в виде пары сил (), числен­но равных главному вектору ( ), и с плечом . Расположим эту пару таким образом, чтобы одна из сил оказалась направленной вдоль линии действия главного вектора, но в противоположную сторону.

Тогда силы и можно исключить как взаимно уравновешен­ные, а оставшаяся сада и есть тлскомая раБнодейст-вутощая рас­сматриваемой системы сил.

Расстояние от центра приведения до линии действия равнодейству­ющей:

.

Следовательно, равнодействующая ПСПРС равна главному вектору и расстояние от центра приведения до линии действия равнодейст­вующей равно частному от деления главного момента на модуль главного вектора или равнодействующей.

1.4.3. Теорема Вариньона

Непосредственно из равенства () вытекает важная зависимость между моментом равнодействующей и моментами состав­ляющих сил, известная в механике как теорема Вариньона. Перепишем предыдущее равенство в таком виде:

.

Из последнего рисунка еледуег, что — момент рав­нодействующей относительно любой точки, а по формуле поэтому последнее равенство можно переписать в виде

,

т.е. момент равнодействующей ПСПРС относительно любой точки ра­вен алгебраической сумме моментов сил системы, взятых относи­тельно той же точки.

1.4.4. Уравнения равновесия и их различные

формы

Первая форма уравнений равновесия

Если плоская система сил уравновешена, то алгебраические суммы проекций всех сил на оси X и У равны нулю, а также равна нулю алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки.

Уравнений равновесия три, т.е. в произвольной плоской урав­новешенной системе число неизвестных сил не должно превышать трех.

Вторая форма уравнений равновесия

Если произвольная плоская система сил уравновешена, то алгеб­раические суммы моментов сил относительно двух любых точек, а также алгебраическая сумма проекций сил на ось, не перпендику­лярную прямой, проходящей через эти точки, равны нулю.

Третья форма уравнений равновесия

Если произвольная плоская система сил уравновешена, то алгеб­раические суммы моментов сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой, равны нулю.

Частные случаи решения этого уравнения:

1. К телу может быть приложена уравновешенная система парал­лельных сил, тогда, рационально расположив оси координат (напри­мер, ось X - перпендикулярно силам, а ось Y - параллельно им) получим

Если плоская система параллельных сил уравновешена, то алгеб­раическая сумма проекций сил на ось, параллельную силам, и ал­гебраическая сумма моментов сил относительно любой точки равны нулю.

2. Расположив центры моментов А и В на прямой, перпендикуляр­ной направлениям сил, получим

Если плоская система параллельных сил уравновешена, то равны нулю алгебраические суммы моментов сил относительно двух любых точек, лежащих на прямой, не параллельной линиям действия сил.

Для плоской системы параллельных сил получим два уравнения равновесия, т.е. для того, чтобы задача могла быть решенной, число неизвестных сил должно быть не больше двух. Вообще говоря, все задачи на равновесие системы сил, в которых число неизвест­ных не превосходит числа уравнений статики для этой системы, на­зываются статически определимыми. Если же число неизвестных сил превышает число уравнений статики, которые возможно составить для данной системы, то задача называется статически неопределимой.

1.4.5. Балочные системы.

Разновидности опор и виды нагрузок

Жесткая заделка

М_а - момент, препятству­ющий

повороту балки

Объектом решения многих задач статики служат так называемые балки или балочные системы. Балкой на­зывается конструктивная деталь какого-либо сооружения, выполня­емая в большинстве случаев в виде прямого бруса с опорами в двух (или более) точках.

По способу приложения силы условно делятся на сосредоточенные и распределенные.

1. Сосредоточенные силы. Предполагается, что нагрузка сосредоточена в точке.

2. Равномерно распределенные.

Равномерно распределенная нагрузка задается двумя параметра­ми - интенсивностью q, т.е. числом единиц силы (Н или кН), при­ходящихся на единицу длины (м), и длиной l. В задачах статики, где рассматриваются абсолютно недеформируемые (твердые) балки, равномерно распределенную нагрузку можно заменять равнодействую­щей сосредоточенной силой .

1.4.6. Реальные связи.

Трение скольжения и его законы

Если связь идеальная (связь без трения), то ее реакция на­правлена по нормали к поверхности или к кривой, ограничивающей свободу движения тела.

Если же тело опирается на поверхность реальной связи (связь с трением), то ее реакция отклоняется от нормали на некоторый угол

Таким образом, реакцию реальной связи можно рассматривать как геометрическую сумму составляющих - нормальной и касательной , которая и есть известная из физики сила трения.

будет максимальной при . Угол -максимальный угол, на который от нормали к поверхности реальной связи откло­няется ее реакция, называется углом трения.

- статическая.сила трения или сила трения покоя.

Постоянное для двух соприкасающихся тел значение называется статическим коэффициентом трения (значения коэффици­ентов трения приводятся в различных физических или технических справочниках), или коэффициентом трения покоя.

Основные законы трения

1. Сила трения действует в касательной плоскости к поверхнос­тям соприкасающихся тел и при движении направлена против относи­тельного скольжения тела.

2. Статическая сила трения пропорциональна нормальной реак­ции,

3. Статическая сила трения не зависит от размеров трущихся поверхностей.

4. Статический коэффициент трения ()зависит от материала

соприкасающихся тел, физического состояния (влажности, темпера­туры, степени загрязнения и т.д.) и качества обработки.(Законы трения относятся к числу не очень точных. Обычно наблюдаются от них значительные отклонения. Например, при увеличении продолжи­тельности неподвижного контакта соприкасающихся тел статический коэффициент трения возрастает, так как в месте контакта посте­пенно происходит пластическое изменение поверхностей обоих тел и площади их соприкосновения увеличиваются. Следовательно, размеры трущихся поверхностей влияют на статический коэффициент трения, а значит₍и на силу трения).

После начала скольжения тела коэффициент трения несколько уменьшается и принимает значение динамического коэффициента тре­ния f. Следовательно,

где - сила трения скольжения.

Поиск по сайту: