Т е м а 1.5 Пространственная система сил

1.5.1. Сложение пространственной системы

сходящихся сил. Условие равновесия

Система сил, линии действия которых расположены как угодно в пространстве, называется пространственной.

Если к приложенным к точке А силам и . добавить силу , не лежащую в плоскости П действия двух первых сил, то получим простейшую (в количественном отношении) пространственную систему сходящихся сил. Определим равнодействующую этих сил. Сначала построим параллелограмм АВЕС на силах и . Его диагональ

.

Сложим АЕ с силой и построим параллелограмм AEKD. Его диагональ

.

Это векторное равенство выражает правило парал­лелепипеда при сложении приложенных к точке трех сил, не лежащих в одной плоскости.

Параллелограмм АВЕС образует одну из граней параллелепипеда, в котором параллелограмм AEKD является диагональным сечением, а заданные силы , и ребрами одного из его трехгранных углов. Таким образом, равнодействующая простран­ственной системы трех сил, сходящихся в одной точке, приложена в той же точке и равна по модулю и направлению диагонали паралле­лепипеда, ребра которого равны и параллельны заданным силам.

т.е. модуль равнодействующей трех сходящихся сил, расположенных в пространстве перпендикулярно друг другу, равен корню квадрат­ному из суммы квадратов модулей этих сил.

Равнодействующая любого числа сходящихся сил, расположенных в пространстве, равна замыкающей стороне многоугольника, стороны которого равны и параллельны заданным силам (правило силового многоугольника).

Аналитическое условие равновесия пространственной системы сходящихся сил выражается тремя уравнениями:

, и

т.е. для равновесия пространственной системы сходящихся сил не­обходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех осей координат были равны нулю.

1.5.2. Момент силы относительно оси

Обозначив момент силы относительно осей , и можем записать:

, и

где , и модули проекций сил на плоскости, пер­пендикулярные той оси, относительно которой определяется момент; t - плечи, равные длинам перпендикуляров от точки пересечения оси с плоскостью до проекции или ее продолжения; знак„плюс или „минус ставится в зависимости от того, в какую сторону поворачи­вается плечо lвектором проекции, если смотреть на плоскость проекции со стороны положительного направления оси; при стремле­нии вектора проекции повернуть плечо против хода часовой стрелки момент условимся считать положительным,и наоборот.

Следовательно, моментом силы относитель­но оси называется алгебраическая (скалярная) величина, равная моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Предыдущий рисунок иллюстрирует последовательность определения момента силы относительно оси Z. Если задана сила и выбрана (или задана) ось, то: а) перпендикулярно оси выбирают плоскость (плоскость ХОУ); б) силу F проецируют на эту плоскость и опре­деляют модуль этой проекции; в) из точки 0 пересечения оси с плоскостью опускают перпендикуляр ОС к проекции и опреде l = ОС; г) глядя на плоскость ХОУ со стороны положи­тельного направления оси Z (т.е. в данном случае сверху), ви­дим, что ОС поворачивается вектором против хода стрелки ча­сов, значит

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось ле­жат

в одной плоскости: а) сила пересекает ось (в этом случае

l = 0); б) сила параллельна оси ( = 0); в) сила дей­ствует вдоль оси (l=0 и = 0).

1.5.3. Пространственная система произвольно

расположенных сил.

Условие равновесия

Ранее подробно изложен процесс приведения сил к точке и дока­зано, что любая плоская система сил приводится к силе - главному вектору и паре, момент которой называется главным моментом, при­чем эквивалентные данной системе сил сила и пара действуют в той же плоскости, что и заданная система. Значит, если главный мо­мент изобразить в виде вектора, то главный вектор и главный мо­мент плоской системы сил всегда перпендикулярны друг другу.

Рассуждая аналогично, можно последовательно привести к точ­ке силы пространственной системы. Но теперь главный вектор есть замыкающий вектор пространственного (а не плоского) силового многоугольника; главный момент уже нельзя получить алгебраичес­ким сложением моментов данных сил относительно точки приведения. При приведении к точке пространственной системы сил присоединен­ные пары действуют в различных плоскостях и их моменты целесооб­разно представлять в виде векторов и складывать геометрически. Поэтому полученные в результате приведения пространственной сис­темы сил главный вектор (геометрическая сумма сил системы) и главный момент (геометрическая сумма моментов сил относительно точки приведения), вообще говоря, не перпендикулярны друг другу.

Векторные равенства и выражают необходимое и достаточное условие равновесия пространственной системы произ­вольно расположенных сил.

Если главный вектор равен нулю, то его проекции на три взаим­но перпендикулярные оси также равны нулю. Если главный момент равен нулю, то равны нулю и три его составляющие на те же оси.

Значит, произвольная пространственная система сил статически

определима лишь в том случае, когда число неизвестных не превы­шает шести.

Среди задач статики часто встречаются такие, в которых на те­ло действует пространственная система параллельных друг другу сил.

В пространственной системе параллельных сил неизвестных долж­но быть не больше трех, иначе задача становится статически неоп­ределимой.

Поиск по сайту: